Sean \(S\) y \(T\) subespacios de un \(k\)-espacio vectorial \(V\).
Probar que \(S\cup T\) es un subespacio de \(V\leftrightarrow S \subseteq T\) ó \(T \subseteq S\)
\(\leftarrow\)
Si
\(S \subseteq T\) ó \(T \subseteq S \rightarrow S\cup T=T\) ó \(S\cup T=S\)
Cómo \(S\) y \(T\) son espacios vectoriales entonces \(S\cup T\) también lo es.
i)\(0\in S\cup T\) como \(0\in S\) y \(0\in T\) no nos agrega condiciones sobre los subespacios
iii) Si \(x\in S\cup T\) y \(\lambda\in \mathbb{K} \rightarrow \lambda .x\in S\cup T\)
Si \(x\in S \rightarrow \lambda .x\in S\)
Si \(x\in T \rightarrow \lambda .x\in T\)
Estas dos condiciones no nos agregan condiciones extras sobre \(S\) ó \(T\)
solo que sean subespacios.
ii)Si \(x\in S\cup T\) y \(x'\in S\cup T\) \(\rightarrow\) \(x'+x\in S\cup T\)
Ahora se ven los tres casos que \(x\) y \(x'\) pertenezcan ambos a \(S\), que pertenezcan ambos a \(T\) o que pertenezca uno a \(T\) y otro a \(S\)
a) Si \(x\in S\) y \(x'\in S\) \(\rightarrow\) \(x'+x\in S\)
Esto no añade condiciones sobre \(S\) ya que es un subespacio.
b) Si \(x\in T\) y \(x'\in T\) \(\rightarrow\) \(x'+x\in T\)
Esto no añade condiciones sobre \(T\) ya que es un subespacio.
c) Si \(x\in T\subseteq S\cup T\) y \(x'\in S\subseteq S\cup T\) \(\rightarrow\) \(x'+x \in S\cup T\)
Entonces \(x'+x \in S\) ó \(x'+x \in T\)
Si \(x'+x \in S\) como \(x' \in S\)
Como \(S\) es un subespacio entonces \((x'+x)-x' \in S\)
Entonces \(x \in S\)
Lo que quedo es que si \((x \in T \rightarrow x \in S)\)