Ejercicio 13. Sean \(S\) y \(T\) subespacios de un \(k\)-espacio vectorial \(V\) . Probar que \(S\cup T\) es un subespacio de \(V \; \iff \; S\subseteq T\) ó \(T\subseteq S\) .
\(\Leftarrow ]\)
Si \(S \subseteq T \Longrightarrow S\cup T = T\) , como \(T\) es un subespacio de un \(K\)-espacio vectorial \(V\) , \(S\cup T\) lo es.
Analogamente, si \(T \subseteq S\) .
Luego debe valer \(s+t\in S \Longrightarrow s+t+(-s)=s+(-s)+t=0+t=t \in S\) (se usan justificaciones análogas a lo anterior, salvo quizás el detalle de que acá uso que, aún más, \(\left(S\;,\;+\right)\) es un Grupo Abeliano) .
Es decir que \(\forall \;t\in T \;, \; t\in S\) , o sea, \(T\subseteq S\) .
Otra \(\Rightarrow ]\) :
Supongamos que \(S\not\subseteq T\) y \(T\not\subseteq S \quad \Longrightarrow \exists \; s\in S\) tal que \(s\notin T\) , y \(\exists \; t\in T\) tal que \(t\notin S\) . Además, \(s\;,\;t\;\in\;S\cup T\) .
Luego, \(s+t\in S\cup T\) , (puesto que \(S\cup T\) es un \(Sub-e.v\) ) .
Ahora, si \(s+t\in S\; \Longrightarrow s+t+(-s)=s+(-s)+t=0+t=t \in S\) , (uso lo mismo que en la otra "\(\Rightarrow ]\)" ) . Absurdo, pues suponiamos \(t\notin S\) .
Pero, si \(s+t\in T\; \Longrightarrow s+t+(-t)=s+0=s \in T\) , de nuevo Absurdo, porque suponíamos \(s\notin T\) .
Luego, no puede ser que \(S\not\subseteq T\) y \(T\not\subseteq S\) , entonces debe valer \(S\subseteq T\) ó \(T\subseteq S\) .
Espero no haber cometido errores, y que ayude =) . Quiero poner más, pero el tiempo no me ayuda :S , después agrego.
Saludos.
