[Verificado] Práctica 1 - Ej. 15

Ejercicio 20. Sean \(v_{1}, ... ,v_{n} \in \mathbb{R}^{n}\) . Probar que \(\{v_{1}, ... ,v_{n}\}\) es linealmente independiente sobre \(\mathbb{R} \iff \{v_{1}, ... ,v_{n}\}\) es linealmente independiente sobre \(\mathbb{C}\) .
\(\Leftarrow\) ]. Si \(\{v_{1}, ... ,v_{n}\}\) es \(l.i.\) sobre \(\mathbb{C} \Longrightarrow \sum_{j=1}^{n} z_{j} \cdot v_{j} = 0 \Longrightarrow z_{j} = 0 \; \left( z_{j} \in \mathbb{C}\right) \; \forall \; j\) . En particular, si \(z_{j} \in \mathbb{R} \; , \; z_{j} = 0 \; \forall \; j\) por \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) . Luego, son \(l.i.\) sobre \(\mathbb{R}\) .

\(\Rightarrow\) ].
Sea \(z_{j} = a_{j} + b_{j} \cdot i\) , \(z_{j} \in \mathbb{C}\) .

\(\iff (a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=0\) y \(\left(b_{1}v_{1}+...+b_{n}v_{n} \right) = 0\) Pero \((a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}) = \sum_{j=1}^{n} a_{j}v_{j} = 0 \Longrightarrow a_{j} = 0\) , (uso que son \(l.i.\) sobre \(\mathbb{R}\) ) Y \((b_{1}v_{1}+...+b_{n}v_{n}) = \sum_{j=1}^{n} b_{j}v_{j} = 0 \Longrightarrow b_{j} = 0\) , (uso que son \(l.i.\) sobre \(\mathbb{R}\) ) Luego, \(z_{j} = a_{j} + b_{j} \cdot i = 0 + 0\cdot i = 0\)

\(\Longrightarrow \sum_{j=1}^{n} z_{j}\cdot v_{j} = 0 \Longrightarrow z_{j}=0\) , es decir, son \(l.i.\) sobre \(\mathbb{C}\) .

A la espera de que sirva, avisen si hay errores!
Saludos.

Firma

$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Una forma mas facil de decir lo mismo, pero que sirve para hacer el problema que voy a postear en Para Pensar:
ADVERTENCIA: no leer esta solucion si piensan pensar lo otro porque es quemadora
Si tengo \(x=(x_1,..,x_n) \in \mathbb{C}^n\) defino \(\overline{x}=(\overline{x_1},..,\overline{x_n})\). Ahora si \(v_i \in \mathbb{R}^n\) son \(\mathbb{R}\)-li y
\(\sum(a_i v_i)=0\) con \(a_i \in \mathbb{C}\) Conjugas y los \(v_i\) te quedan igual sumas, restas y te quedan dos combinaciones lineales con coeficientes en \(\mathbb{R}\) que son nulas. Y se sigue igual que antes

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Quimey

Agustín, me aprece que los \(v_i\) están en \(\mathbb C^n\) y no en \(\mathbb R^n\). Saludos.

Yossarian escribió:

Agustín, me aprece que los \(v_i\) están en \(\mathbb C^n\) y no en \(\mathbb R^n\). Saludos.

Seguro? Por qué? El ejercicio dice \(\mathbb{R}^{n}\) , eso seguro. Además no es necesario en la demostración, no? (suponiendo que lo que hice está bien).

Como dice pablo es falso:
\((1,0) , (i,0)\) son \(\mathbb{R}\) li peno no \(\mathbb{C}\) li

jajaj, puse lo otro, me fui a bañar, y venía a poner ese contraejemplo cuando salí 😆

No pueden decir que en el foro las cosas no se responden rápido..

¿pero quién es \(i \cdot (1,0,0,0,0,0)\)? \(\mathbb R^n\) no es un \(\mathbb C\)-espacio vectorial. Hay algo que no entiendo 😢

Tomas vectores en \(\mathbb{R}^n\) los podes pensar en \(\mathbb{R}^n\) o en \(\mathbb{C}^n\) la propiedad de ser li no depende de como los pienses

Ya entendí 😄.