Encontrar una función \(f:\mathbb{V}\rightarrow \mathbb{V}\)(para un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial \(\mathbb{V}\) conveniente) que cumpla:
a)\(f(v+w)\eq=f(v)+f(w),\forall v,w\in\mathbb{V}\), pero que no sea una transformación lineal.
b)\(f(k\cdot v)\eq=k\cdot f(v),\forall k\in \mathbb{K},\forall v\in\mathbb{V}\), pero que no sea una transformación lineal.
a) Bueno, casualmente la práctica da un ejemplo del primer caso, con lo que voy a dar uno ligeramente distinto... sea \(A\eq=\{x:x\eq=a+b\sqrt{d},\;a,b\in\mathbb{Q},\;d\in\mathbb{N},$no\;cuadrado\;perfecto$\}\). Este conjunto resulta ser un cuerpo(no es muy difícil de verificar), con la suma y el producto usual de reales; luego, particularmente, \(A\) es un \(A\) espacio vectorial. Si definimos \(f:A\rightarrow A,\;f(x)\eq=a-b\sqrt{d},\;x\eq=a+b\sqrt{d}\), puede verificarse(es hacer una pequeña cuenta) que vale efectivamente \(f(x+y)\eq=f(x)+f(y)\). Sin embargo, no es una transformación lineal, porque no anda bien con el producto por escalares. Por ejemplo, \(\sqrt{2}\in A\), luego, tomando como escalar también a \(\sqrt{2},\;f(\sqrt{2}\sqrt{2})\eq=f(2)\eq=2\), pero \(\sqrt{2}f(\sqrt{2})\eq=\sqrt{2}(-\sqrt{2})\eq=-2\). Aquí se obtienen valores distintos. No fui muy explícito, porque ya había un ejemplo en la práctica, que era \(f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C},\;f(z)\eq=\overline{z}\), que verifica \(f(z+w)\eq=\overline{z+w}\eq=\overline{z}+\overline{w}\eq=f(z)+f(w)\), pero tiene problemas con los escalares; tomando \(i\), y también como escalar, tenemos \(f(i\cdot i)\eq=f({i}^{2})\eq=f(-1)\eq=-1\), pero \(if(i)\eq=i\cdot -i\eq=-{i}^{2}\eq=1\). Así que no fui muy creativo...
b)bueno, el ejemplo que voy a poner a mi al menos me gustó. Podemos tomar \(f:{\mathbb{Z}_{5}}^{5}\rightarrow {\mathbb{Z}_{5}}^{5},\;f(x,y,z,t,w)\eq=(x\cdot y\cdot z\cdot t\cdot w,{x}^{2}\cdot {y}^{2} \cdot z,{x}^{2}\cdot {z}^{2} \cdot t,{x}^{2}\cdot {t}^{2}\cdot w,{x}^{2}\cdot {w}^{2}\cdot t)\). La gracia de esta función es que, cuando se calcula \(f(kv)\eq={k}^{5}(x\cdot y\cdot z\cdot t\cdot w,{x}^{2}\cdot {y}^{2} \cdot z,{x}^{2}\cdot {z}^{2} \cdot t,{x}^{2}\cdot {t}^{2}\cdot w,{x}^{2}\cdot {w}^{2}\cdot t)\eq={k}^{5}f(v)\), pero \({k}^{5}\eq=k\), por ser \(k\in\mathbb{Z}_{5}\)(recordar que \({a}^{p}\equiv a(p),\;p\) primo. \(5\) es un primo). Luego, queda \(f(kv)\eq=kf(v)\), como queríamos. Encontrar un contraejemplo para la suma no es muy difícil. Por ejemplo, \(f(1,1,1,1,2)\eq=(1,1,1,2,4),\;f(4,1,1,1,1)\eq=(4,1,1,1,1),\;f(1,1,1,1,2)+f(4,1,1,1,1)\eq=(1,1,1,2,4)+(4,1,1,1,1)\eq=(0,2,2,3,0)\), pero \(f(1+4,1+1,1+1,1+1,2+1)\eq=f(0,2,2,2,3)\eq=(0,0,0,0,0)\). Sigue que no es una transformación lineal. Con este ejemplo, se pueden construir en general funciones \(f:{\mathbb{Z}_{p}}^{p}\rightarrow {\mathbb{Z}_{p}}^{p}\), de este estilo.
Bueno, una contribución muy modesta, pero espero que sirva... saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Muy buenos ejemplos. Yo quería agregar algun comentario:
Fijense si pueden encontrar una funcion \(f:V \rightarrow W\) donde V y W son \(\mathbb{R}\) espacios vectoriales que separe sumas pero que no sea transformacion lineal
Si se dan por vencidos:
No es muy dificil ver que si \(\lambda \in \mathbb{Q} \Rightarrow f(\lambda x)=\lambda f(x)\). Con lo cual si por ejemplo \(V=W=\mathbb{R}\) con pedirle una minima cosa (continua, monotona, etc..)a la funcion resulta lineal. Pero sin embargo existen estas funciones, lo que pasa que para construirlas es necesario el axioma de eleccion (http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n)
Me interesó mucho el ejemplo; estuve investigando lo que decís, y vi que de satisfacer \(f\) alguna mínima regularidad como decís, y \(f(x+y)\eq=f(x)+f(y)\), termina siendo lineal. Mi pregunta es, si la función que vos decís, es lo siguiente: en \(\mathbb{Q}\), si existe una solución que no resulta lineal, entonces debería ser algo así como ''una función que por medio de racionales'' me aproxima cualquier punto del plano. Si es algo así lo que te referís, entonces(escribo lo que encontré), existe un subconjunto no vacío de los reales, \(H\) tal que todo número real se puede expresar en la forma \(x\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}{q}_{i}{h}_{i},\;{h}_{i}\in H\), dependiente de \(x\) \({q}_{i}\in\mathbb{Q}\) dependiente de \(x\), y la función aditiva \(f(x)\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}{q}_{i}g({h}_{i}),\;g\) una aplicación de \(H\) en \(\mathbb{R}\).
No se si te referías a este ejemplo; si es así, según lo que leí(puede que esté todo mal) se probó que ese conjunto existe, y luego la función existe. Lo que sucede, es que no logro imaginarme el conjunto en el que todo número real del mismo se puede escribir como combinación de racionales adecuados ¿acá estás usando el axioma de elección?. Además, partiendo de lo que leí en el link que pusiste, ¿podés aceptar como no tal axioma, y entonces este conjunto no necesariamente existe? Perdoná que pregunté tanto; es que últimamente todas las dudas que hacía en álgebra lineal, terminaban siendo respuestas con el axioma de elección, y esta se agrega a ese conjunto(como que existe una base de \(\mathbb{R}\) como \(\mathbb{Q}\)-espacio vectorial, pero no se puede construir). Gracias desde ya por leer este extenso post. Saludos.
El H este que vos propones es una base de \(\mathbb{R}\) como \(\mathbb{Q}\) espacio vectorial (su existencia esta garantizada por el axioma de eleccion. Ademas el hecho de que todo espacio vectorial tenga una base es equivalente al axioma de eleccion) La definicion que vos das de f deberia servir para una eleccion adecuada de g.
Es de esperar que no te puedas imaginar ese conjunto, por eso usamos el axioma de eleccion.
Hablando de conjuntos que no se pueden imaginar y el axioma de eleccion me gustaria dejar 2 ejemplos mas:
Definamos una relacion de equivalencia en \(\mathbb{R}\), \(aRb \Leftrightarrow a-b \in \mathbb{Q}\). El axioma de eleccion nos garantiza que existe un conjunto formado por un representante de cada clase de equivalencia (este tiene nombre se llama Vitali). El Vitali es un conjunto que no se puede medir (en un sentido que van a aprender despues). Como se imaginan que es?
2)http://grupofundamental.wordpress.com/?s=prisioneros
