Tema
Hola! vengo a pedir una mano con este ejercicio,es el ii); uno de los tantos que no me salen de lineal 😢
La parte i) tampoco me sale...
Alguien me tira una idea??
(Comentario al margen:como me costó escribir esto!!! :S)
Tiro la parte i), porque estoy apurado.... perdón. Fijate si adaptás la idea al ii):
i)La idea es encontrar una \(f:{K}^{n}\rightarrow {K}^{n}:\Nu(f)\eq=S\), con \(S\subseteq {K}^{n}\) el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo. Notá que \(S\), por ser el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo, es un subespacio vectorial de \({K}^{n}\). Sea \(B\eq=\{{v}_{1},...,{v}_{r}\},\;r\leq \dim({K}^{n})\) una base de \(S\). Extendela a una base de \({K}^{n}\). Sea \(B'\eq=\{{v}_{1},{v}_{2}...,{v}_{r},{v}_{r+1},...,{v}_{m}\}\) esta base. Si definís:
\(f(v)\eq=0,\;\forall v\in B\)(o sea, mandás todos los vectores que son base de \(S\) al \(0\in {K}^{n}\))
\(f({v}_{i})\eq={e}_{i},\;r+1\leq i \leq m\)(o sea, mandás cada uno de los vectores que agregaste a un vector de la base canónica de \({K}^{n}\), según el orden en la base. Si es el \({v}_{l}\), lo mandás al \({e}_{l}\eq=(0,...,1,...,0)\), con el 1 en la l-ésima coordenada)
Ahora, sabés que existe una única transformación lineal que verifica lo pedido, porque la construiste en una base \(B'\) de \({K}^{n}\). Por otro lado, \(Im(f)\eq=<f({v}_{1}),...,f({v}_{m})>\eq=<0,...,0,{e}_{r+1},...,{e}_{m}>\). Luego, extraes una base de la imagen. Por ser l.i \(\{{e}_{r+1},...,{e}_{m}\}\) tenés la base que buscabas(hay \(m-(r+1)+1\eq=m-r-1+1\eq=m-r\) vectores li en dicho conjunto). Ahora, el teorema de la dimensión te dice que \(\dim({K}^{n})\eq=\dim(\Nu(f))+\dim(\Im(f))\). Despejás, y tenés \(\dim({K}^{n})-\dim(\Im(f))\eq=m-(m-r)\eq=r\eq=\dim(\Nu(f))\). Pero ya sabés que tenés \(r\) vectores l.i que estában en el núcleo de \(f\); los vectores que tomaste com base de \(S\). Luego, por ser subespacio, \(<{v}_{1},...,{v}_{r}>\eq=S\subseteq \Nu(f)\) y \(\dim(S)\eq=\dim(Nu(f))\iff S\eq=\Nu(f)\). Acá tenés una transformación como la que buscabas.
Fijate si con esta idea sale el otro ejercicio. Sino, después se planteará. No te hagas problema por lo del tex; te acostumbrás después de un rato. Espero haber aclarado. Saludos
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
MIL GRACIAS!!!
Bueno, intento el otro... La explicación es clarísima, pero el tema es un bardo. 😢
Besos.
Para escribir texto en TeX, podes usar el \text{} y adentro de eso pones el texto q quieras.. de todas formas no te hagas mucho drama en escribir TODO el enunciado en TeX, es importante solo q las partes numericas lo esten, para q se entienda mejor..
Saludos =)