Sea \(V\)un \(\mathbb{C}\)-espacio vectorial de dimension finita. Sean \(v_1,.....v_n \in V\) vectores no nulos. Probar que existe una forma lineal \(f \in V^{*}\)tal que \(f(v_i)\not= 0\) para todo \(i\)
En realidad no quiero que lo resuelvan, quiero saber que esta mal en lo que estoy pensando, porque no puede salir tan facil...
La funcion identidad, no cumple lo pedido????
que estoy entendidendo mal?
pregunta,,,forma lineal = transformacion lineal? porque si esta en \(V^{*}\) es una t.lineal, es decir lo de forma lineal esta de mas, o es eso lo que no entiendo?
una \(f \in V^*\), también llamada forma lineal, es una transformación lineal que va así: \(f:V \to \mathbb C\), es decir, toma valores en el cuerpo. En particular, salvo que \(V = \mathbb C\), no podés tomarla como la identidad... hay que pensar otra cosa.
😳 ahhhhhhhh que boloh....me olvide que de ese detalle,,,nose porque pense que me mandaba vectores a vectores, cualquier cosa, nose en que estaba pensando jajaja,,,
bueno muchas gracias yossarian 🙂
Mi favorita es la siguiente: Tomemos los vectores \(v_1, \ldots, v_n\). Como son finitos, hay un plano que NO toca a ninguno. Sea \(w\) el vector ortogonal a ese plano, entonces \(\left\langle w, - \right\rangle\) sirve.
Otra: Claramente dado un vector no nulo, existe una forma lineal que no se anula sobre él. Por inducción, hay una forma lineal que no se anula sobre \(v_1, \ldots, v_{n-1}\), digamos \(f\). Sea ahora \(g\) una que no se anula en \(v_n\). Entonca agarrás la combinación \(f + \lambda g\), con \(\lambda \in \mathbb C\), y te fijás para qué \(\lambda\) esa combinación se anula en alguno de los \(v_1, \ldots, v_n\). Te sale que hay finitas soluciones. Agarrás un \(\lambda\) distinto a esos y listo.
Otra; fijemos una base de \(V\) y pasemos al doble dual. Consideramos \(ev_i \in V^{**}\). Si \(f(v_i) = 0\), entonces \(f \in ker (ev_i)\). Así, miramos la unión de todos los núcleos, que son finitos planos en \(V^*\). Claramente un espacio vectorial, que es isomorfo a \(\mathbb R^n\), no es la unión de finitos planos. Agarramos un punto de \(V^*\) que NO esté en esa unión, y esa función sirve.
Notar que la primera y la tercera demostración son visualmente creíbles, pero están mal justificadas 🙂. La única justificada formalmente es la segunda.
Ese argumento de que "casi cualquiera sirve" es muy común en geometría.