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[Verificado] Práctica 4 - Ej. 18

2 respuestas 3975 visitas 2008-10-01

#1 topo 2008-10-01 17:43

Buenas... Alguien tiene ganas de tirarme una idea pa este ejercico...??

Sea V un \(\mathbb{C}\)-espacio vectorial. Sean \(f,g\) en V* tales que \(f.g\) vive en V*.
Probar que \(f=0\) ó \(g=0\).

Se me ocurre ver q \(f.g\) no es transformacion lineal si \(f\neq0\) y \(g\neq0\) , q no vive en V*.... No se si está bien... y si está bien = no me sale... :S
ayuda!!

#2 Yossarian 2008-10-02 00:10

Punta:

Si \(f, g \in V^*\), hay un vector \(v \in V\) tal que \(f(v) \neq 0 \neq g(v)\)

#3 topo 2008-10-08 23:05

Un poco tarde pero....
Gracias por la ayudita!!!... igual terminé consultándolo en la práctica la idea porque me trabé... :S

Dejo acá lo que escribí, cualquier cosa que esté mal o no se entienda lo que quise poner avísenme y trato de corregirlo.

Supongamos que \(f,g\neq0\), entonces existe \(z\;\in\;V\) tal que

f(z),g(z)\neq0

Sea \(v\;\in\;V\) tal que \(f(v)\neq0\), si \(g(v)\neq0\) joya. Sino supongamos \(g(v)=0.\) Sea \(w\;\in\;V\) tal que \(g(w)\neq0\), si \(f(w)\neq0\) joya. Sino supongamos \(f(v)=0\). Entonces, \(f(v+w)=f(v)+f(w)=f(v)+0=f(v)\neq0\)

g(v+w)=g(v)+g(w)=0+g(w)=g(w)\neq0

Llamo \(z=v+w\). Entonces, \(f(z)\neq0\) y \(g(z)\neq0\).

Observemos que \(f(z).g(z)\neq0\).

$$(f.g)(z+z)=f(z+z).g(z+z)=[f(z)+f(z)][g(z)+g(z)]=(f.g)(z)+(f.g)(z)+2f(z).g(z)$$

Pero como f.g es tl, \(2f(z)g(z)=0\). Absurdo.

El absurdo vino de suponer q \(f,g\neq0\). Luego, \(f=0\) ó \(g=0\).

🙂