Tema
Sea \(A \in \mathbb{C}^{nxn}\) una matriz de traza nula. Probar que \(A\) es semejante a una matriz que tiene toda la diagonal nula.
Bueno, yo pensé lo siguiente: Tomo la práctica, una tijera, y la empiezo a cortar en trocitos tan pequeños como pueda. Luego, los quemo.. 😳
Fuera de chiste, si alguien sabe como hacerlo, revisando las prácticas lo encontré y descubrí que no lo había hecho, y ahora no me sale :S
Lo haces por induccion, primero tenes que encontrarte una base en la cual la matriz tenga un 0 en la diagonal, ponele que arriba a la izquierda. Por HI hay un cambio de base n-1 dimensional, etc etc.
Intenta escribirlo mejor, si no te sale te digo un poco mas.
Quimey
cuando tengo que usar inducción nunca la uso.. :S Gracias Quimey.
podrias explicar un poco mas quimey?
Pudiste hacer alguno de los pasos, donde te trabaste?
vi que vale para n=1
despues hago en paso inductivo y separo en dos casos:
caso \(a_{n+1,n+1}\) es cero:
en ese caso se que existe una base B en la cual \(A(n+1|n+1)\), la submatriz que sale de eliminar la ultima fila y la ultima columna, tiene ceros en la diagonal. entonces, construyo una base igual pero a cada vector de la base le agrego una ultima coordenada igual a cero y completo la base con el vector \(e_{n+1}\)
caso \(a_{n+1,n+1}\) no es cero:
si agarro la matriz \(A\) y considero \(A' = A - a_{n+1,n+1} E^{n+1,n+1} + a_{n+1,n+1} E^{n,n}\) esa \(A'\) cumple que la traza es la misma que \(A\) y tiene un cero en \(a'_{n+1,n+1}\). estoy en el caso anterior.
encuentro la base \(B\), hago los cambios de base y como las \(E\) conmutan con ellos, me queda que la \(A\) es semejante a una matriz con ceros en la diagonal salvo en los dos ultimos elementos de la diagonal en los que me quedan \(a_{n+1,n+1}\) sumando y restando. taaaan mal no puede estar, pues me queda con traza nula, se conserva el invariante por semejanza jajaja
bueno, ahi me quede 🙁
En el paso 2) te conviene encontrar un cambio de base que te ponga un 0 en el ultimo lugar para poder hacer lo mismo que en el 1) (multiplicas los 2 cambios de base que te quedan).
Lo que funciona es algo asi como sumarle al ultimo vector de la base un multiplo de otro o algo asi.
Joya, me fijo y despues te digo. Ah, una pregunta, el enunciado pide probar que la matriz \(A\) es semejante a otra matriz con ceros en la diagonal ¿es cierto para otras posibles diagonales? por ejemplo para \(n\geq2\) ser semejante a una que tenga un 1, un -1 y todos el resto ceros en la diagonal?
No se, casi seguro que si.