[Verificado] Práctica 5 - Ejercicio 20 ii)

Sea A \(\in {K}^{nxn}\) no inversible tal que la \(Adj(A)\neq0\). Calcular \(Rg(A)\) y \(Rg(Adj(A))\).

\({(Adj(A))}_{ij}={(-1)}^{i+j}.det(A(i|j))\neq0 \Rightarrow det(A(i|j))\neq0\)
A(i|j) es una submatriz de A de tamaño \({K}^{(n-1)x(n-1)}\) con det distinto de 0, lo que quiere decir que el \(Rg(A)\geq n-1\) Pero como A es no inversible, el \(Rg(A)=n-1\)

Pero cómo saco \(Rg(Adj(A))\)?

Notá que \(dim(Nu(A))\eq=1\), por lo que dijiste del rango. Luego, tenés, dada una matriz \(B\), que:
\(A\cdot B\eq=0\), donde \(B\eq=Adj(A)\)(recordá \(A\cdot Adj(A)\eq=\det(A) \cdot {I}_{n}\).
Luego, tenemos, si

(o sea, en cada columna del producto aparece \(A\) por la respectiva columna de \(B\)) Luego, \({v}_{i}\in Nu(A),\forall i\). Pero \(Nu(A)\) tiene dimensión 1... con lo que sigue que el conjunto \(\{{v}_{1},{v}_{2}, \cdots ,{v}_{n}\}\) tiene dimensión 1, y no 0, pues hay al menos uno de esos vectores que es no nulo, por eso de la submatriz que dijiste. O sea, como esos vectores eran las columnas de la adjunta, obtenés que \(rg(Adj(A))\eq=1\) Espero haber aclarado. Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Totalmente aclarado...
A ver si esta vuelta me quedan bien claros los rangos jajaja

Muy lindo problema!!
¿de dónde salió?

Era de la práctica de matrices de lineal.