i) Encontrar un subconjunto no vacío de \(\mathbb{R}^{2}\) que sea cerrado para la suma y para la resta pero no para la multiplicación por escalares.
ii) Encontrar un subconjunto no vacío de \(\mathbb{R}^{2}\) Que sea cerrado para la multiplicación por escalares pero no para la suma.
LA VERDAD QUE no entiendo bien qeu es eso de cerrado para la suma
para el i) se me ocurre \(w=\{n.v / n\in\mathbb{Z}\) y \(v\) un vector de r2 cualquiera no nulo\(\}\)
para el ii) El conjunto recta y=0 unión recta x=0
Donde en ambos casos i) y ii) los escalares pertenecen a \(\mathbb{R}\)
Les parece bien ?
agradecería cualquier tipo de ayuda desde ya muchas gracias.
Si tenés un conjunto \(H\), y definís \(\ast: H\times H\rightarrow H\) una operación, por la definición de la misma, tenés que \(H\) es cerrado para la operación \(\ast\), o sea, \(a\ast b\in H\) para toda elección de \(a\) y de \(b\).
Tiene sentido preguntarse si una operación es cerrada o no si trabajás con un conjunto más chico en el que definís la operación(o si estás probando que la operación definida está, justamente, bien definida). O sea, en resumen, para \(H'\) un subconjunto propio de \(H\)(o sea, \(H'\neq H\)):
-decís que \(H'\) es cerrado para \(\ast\) si para todo \(a,b\in H'\), se cumple \(a\ast b\in H'\)
-si no se cumple lo anterior, no es cerrado \(H'\) para \(\ast\) o decís que es abierto para \(\ast\).
De esta manera, \(\mathbb{Q}\) para \(+\), la suma usual de reales, es cerrado porque \(a+b\in \mathbb{Q}\) para todo par de racionales. Sin embargo, \(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)(los irracionales) no es cerrado para \(+\), porque \(2+\sqrt{2},\, 2-\sqrt{2}\) son irracionales(habría que probarlo primero) pero \((2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})\eq=4\in \mathbb{Q}\)
Espero que esto se haya entendido(y no haya confundido)
El primero tendrías que tener el cuidado de poner \(v\) fijo, porque entre \(\mathbb{N} \times \mathbb{R}^{2}\) y \(\mathbb{R}^{2}\) hay una biyección(o sea, la idea de que hay igual cantidad de elementos en ambos), con lo que resultaría cerrado para la multiplicación por escalares. En definitiva, pondría por ejemplo \(w\eq=\{v\in \mathbb{R}^{2}:v\eq=n{e}_{1},n\in \mathbb{Z}\}\)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Gracias exequiel!.
Haber lo pongo un poco más claro que el otro ya que el otro estaba así no más, yo tengo al subconjunto de \(\mathbb{R}^{2}\) que lo definoi así \(W=\{w\in\mathbb{R}^{2} / w=n.{e}_{1}, n\in\mathbb{Z}, {e}_{1} \in\mathbb{R}^{2} \}\).
Pero si la operación acá sería \(\ast :\mathbb{R}\times W \rightarrow W\) en vez de \(\ast :\mathbb{N}\times W \rightarrow W\).
La suma y la resta están definidas pero el producto por escalar no, está bien?.
Por que puse más abajo que los escalares estaban en \(\mathbb{R}\) pero como estaba puesto así no más quizas no se entendió,
Espero ser claro con mi duda, desde ya muchas gracias.
No, quedó claro. En general, se suele entender la operación que usás, si trabajás con un subconjunto no vacío dotado de la misma operación. En definitva, está bien lo que decís.
