Sean \(A\)y\(A*\) \(\in {\mathbb{R}^{3*3}\)
Probar que \(A\) es semejante a \(A*\) \(\Leftrightarrow\) \(\exists\) \(F:{k}^{n}\longrightarrow{k}^{n}\) y bases \(B\) Y \(B*\) tales que \({\vert F \vert}_{B}=A\) Y \({\vert F \vert}_{B*}=A*\)
\(\Longrightarrow)\)
Sea \(A=(Aij)\) ] , \(A*=CA{C}^{-1}\)
siendo \(C= (Cij)\) \(C\in GL(n,K)\)
Sea \(Vj= C1j...Cnj\) con\(j = 1,,,n\) Quiero ver, en principio que \([V1...Vn]\) es base de \({k}^{n}\)y como la dimension de \({k}^{n}\)es \(n\) basta ver que son L .I....Supongo q\(\sum_{j=1}^{n}{\Im}_{j}{V}_{j}= 0\Leftrightarrow\sum_{j=1}^{n}{\Im}_{j}{C}_{ij}= 0\) para todo \(i=1...n\) luego
Por otro lado...sea \(F:{k}^{n}\longrightarrow{k}^{n}\) \(F(V)=A.{v}^{t}\) ( Gracias exe) \(F(Vj)=\sum_{j=1}^{n}{A}_{ij}{V}_{i}\) se sigue que \({\vert F \vert}_{B}=A\) y si tomo \(B*\) como la canonica de \({k}^{n}\) ent \(C(B,B*)=C\) Y \({\vert F \vert}_{B*}={c}_{B,B*}{\vert F \vert}_{B}{{c}_{B,B*}}^{-1}=A*\)
$$\Leftarrow$$
Quiero ver que \(A\) es Semejante a \(A*\)
\({\vert F \vert}_{B}}={C}_{E,B}{{\vert F \vert}_{E}}{{C}_{EB}}^{-1}\) Luego \({\vert F \vert}_{B}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{E}}\)
Por otro lado\({\vert F \vert}_{B*}}={C}_{E,B*}{{\vert F \vert}_{E}}{{C}_{EB*}}^{-1}\) Luego \({\vert F \vert}_{B*}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{E}}\)
En resumen...\({\vert F \vert}_{B}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{E}}\) y \({\vert F \vert}_{B*}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{E}}\) entonces, por simetria\({\vert F \vert}_{B}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{E}}\)
y\({\vert F \vert}_{E}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{B*}}\)
entonces,por transitividad,,,\({\vert F \vert}_{B}\) es semejante a \({{\vert F \vert}_{B*}}\) y esto sucede si y solo si \(A\) es semejante a\(A*\)
disculpen por lo feo que escribo en tex,seria muy feliz si me dicen si esta bien el ejercicio...saludos...
p.s: vale decir,la semejanza es una relacion de equivalencia ...(lo use en la vuelta )
La vuelta está bien. Si bien es rebundante, tendrías que decir que son semejantes porque la \(C\) que tomás inversible es el cambio de base.
En la ida, tomaste \(B\) como los vectores columna de \(C\), ¿no? No hace falta probar a esta altura(en esta práctica) que una matriz es inversible sii sus vectores columna son li(creo que ya lo habrás probado en la práctica 2. Sino, está bien que lo probaste).
Lo que no veo bien(perdón, es la hora) es cómo definiste tu \(f\). ¿Tomaste \(f(v)\eq=A{v}^{t}\), y luego \({|f|}_{E}\eq=A\)?. Si es así, el argumento que sigue está bien(si partiste que \(A'\eq=CA{C}^{-1}\) o sea la \(C\) que usás la sacaste de acá. Eso tendrías que aclararlo al principio)
Va, no se si se entiende lo que señalé. Espero que ayude.
PD: ¡usaste el nombre de la base \(B\) como el nombre de \(A'\)!
Aclaración: \(A'\eq=A\ast\)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
S i Exe,todo eso que decís es lo que quise hacer,es que me cuesta bastante manejar tex y entre tanta notacion me olvido detalles que son importantes ...
muchas gracias!
