El ejercicio dice:
Sea \(B={M}_{3}(2)\in {\mathbb{R}}^{4\times 4}\). Calcular \(B^{20}\) y \(20.B\)
Bueno yo lo hice así y salió todo lindo pero después pensé que pasa si me hubieran pedido:
\(B={M}_{i}(a)\in {\mathbb{K}}^{n\times n}\). Calcular \(B^m\)
\({M}_{i}(a)={I}_{n}+(a-1).{E}^{ii}\)
$${[{M}_{i}(a)]}^{m}={[{I}_{n}+(a-1).{E}^{ii}]}^{m}$$
Como:
- \(({\mathbb{K}}^{n\times n},+,\cdot)\) es un anillo
- \(({\mathbb{K}}^{n\times n},+,{\cdot}_{\mathbb{K}})\) es un \(K-\)espacio vectorial
3)\((\lambda{\cdot}_{\mathbb{K}}X)\cdot Y=\lambda{\cdot}_{\mathbb{K}}(X\cdot Y)=X \cdot (\lambda{\cdot}_{\mathbb{K}}Y)\)
\(\forall \lambda \in \mathbb{K}\) \(\forall X,Y \in {\mathbb{K}}^{n \times n}\)
Entonces \({\mathbb{K}}^{n \times n}\) es un \(K-\)álgebra
Esto lo quería poner xq no sabía que existía una estructura de este estilo y me resulta muy interesante además de que lo voy a usar en uno de los pasos
Bueno ahora vienen las preguntas
Como \({<E^{ii}>}_{\forall i \in [1,n]} \subseteq S^{n\times n}=\{A\in {\mathbb{K}}^{n \times n}/A.B=B.A\) \(\forall B \in {\mathbb{K}}^{n \times n}\}\)
En particular creo que es una igualdad pero no viene al caso mi pregunta es:
¿\(S^{n\times n}\) es un anillo conmutativo?,¿Cómo lo pruebo?
Si fuera, Entonces sería un K-álgebra conmutativa?.
Otra pregunta, se define \(A^0=I_n\) \(\forall A \in S^{n\times n}\) o se deduce de algún lado?
Suponiendo que \(S^{n\times n}\) fuera un "K-álgebra conmutativa" y \(A^0=I_n\) \(\forall A \in S^{n\times n}\)
Entonces vale la fórmula del binomio de Newton?
Bueno yo conjeturo qué sí y empiezo a operar:
$${[{I}_{n}+(a-1).{E}^{ii}]}^{m}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k} {I_n}^{m-k}.[(a-1)E^{ii}]^k$$
Como \({I_n}^{algo}.A=I_n .A=A\) entonces:
$$=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k} [(a-1)E^{ii}]^k$$
Como es un K-álgebra conmutativa e hipótesis inductivas tengo que:
$$=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k} (a-1)^k .(E^{ii})^k$$
$$=\binom{m}{0} (a-1)^0 .(E^{ii})^0 +\sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k} (a-1)^k .(E^{ii})^k$$
Como \(E^{ii}.E^{ii}=E^{ii}\) entonces \((E^{ii})^r=E^{ii} \forall r \in \mathbb{N}\)
y \((E^{ii})^0=I_n\)
$$=I_n +\sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k} (a-1)^k .E^{ii}$$
Por la propiedad asociativa respecto al producto escalar e hipótesis inductivas:
$$=I_n +[\sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k} (a-1)^k ].E^{ii}$$
Vuelvo a aplicar la fórmula del binomio de Newton:
$$=I_n +\{ \sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k} [\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j} a^j .{(-1)}^{k-j}] \}.E^{ii}$$
$$=I_n +\{ \sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k} (-1)^k[\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j} (-a)^j ] \}.E^{ii}$$
Y bueno me trabo ahí, ¿alguien sabe como seguirlo?:S.
En teoría ese choclo tendría que dar \(a^m-1\), no?.
Desde ya muchas gracias saludos.