La verdad que el formalismo es algo que me cuesta una banda. El ejercicio dice:
Sean \(A \in {K}^{m\times n}\) y \(B \in {K}^{n\times r}\). Probar que \(rg(AB)\leq rg(A)\)
y \(rg(AB)\leq rg(B)\).
La j-ésima columna de \(A.B\) es:
$$(A.B)_j = (\sum_{k=1}^{n}b_{kj}A_k)$$
Donde \(A_k\) es la k-ésima columna de \(A\).
Entonces cualquier columna de \(AB\) es una combinación lineal de columnas de \(A\).
Entonces \(Col(A.B)\subseteq Col(A)\)
Entonces \(dim(Col(A.B))\leq dim(Col(A))\)
luego \(rg(AB)\leq rg(A)\)
La i-ésima fila de \(A.B\) es:
$$(A.B)_i = (\sum_{k=1}^{n}a_{ik}B_k)$$
Donde \(B_k\) es la k-ésima fila de \(A\).
Entonces cualquier fila de \(AB\) es una combinación lineal de filas de \(B\).
Entonces \(Fil(A.B)\subseteq Fil(B)\)
Entonces \(dim(Fil(A.B))\leq dim(Fil(A))\)
luego \(rg(AB)\leq rg(B)\)
Primero está bien hecho?, segundo está bien justificado?
Desde ya gracias, adiós.
