Acá va otro esperemos que esté bien, saludos.
Sea \(tr:{\mathbb{K}}^{n\times n}\rightarrow{({\mathbb{K}}^{n\times n})}^*\) la forma lineal traza y dada \(a \in {\mathbb{K}}^{n\times n}\) se define \(f_a:{\mathbb{K}}^{n\times n}\rightarrow \mathbb{K}\) como \(f_a(x)=tr(a.x)\).
i) Probar que \(f_a\in {({\mathbb{K}}^{n\times n})}^* \forall a \in {\mathbb{K}}^{n\times n}\).
Sea \(E=\{E^{1 1},E^{1 2},..,E^{1 n},E^{2 1},E^{2 2},..,E^{2 n},..,E^{n 1},..,E^{n n}\}\)
La base canónica de \({\mathbb{K}}^{n\times n}\)
y sea \(E^*=\{\varphi_{1 1},\varphi_{1 2},..,\varphi_{1 n},\varphi_{2 1},\varphi_{2 2},..,\varphi_{2 n},..,\varphi_{n 1},..,\varphi_{n n}\}\)
su respectiva base dual.
Por propiedades de la traza:
$$a=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{ij}.E^{ij}$$
$$tr(a.x)=tr((\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}x_{ij}.E^{ij}).a)$$
Por la propiedad de la traza:
$$tr(A.(B+C))=tr(A.B)+tr(A.C) \forall A,B,C \in {\mathbb{K}}^{n\times n}$$
$$tr(a.x)=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}tr((a_{ij}.E^{ij}).x)$$
Como \((a_{ij}.E^{ij}).x=a_{ij}.(E^{ij}.x)\)
\(tr(\lambda.A)=\lambda.tr(A)\forall A \in {\mathbb{K}}^{n\times n}\) y \(\lambda \in \mathbb{K}\)
Entonces
$$tr(a.x)=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{ij}tr(E^{ij}.x)$$
Sea $$x=\left(\begin{matrix} \Im_1\\ \Im_2 \\.\\.\\.\\ \Im_n \end{matrix}\right)$$
Donde \(\Im_l\) es la fila l-ésima de la matriz \(x\).
$$E^{ij}.x=\left(\begin{matrix} \Im_1'\\ \Im_2' \\.\\.\\.\\ \Im_n' \end{matrix}\right)$$
Con \(\Im_k'=(0,..,0)\) si \(k \neq i\) y \(\Im_i'=\Im_j\)
Entonces \(tr(E^{ij}.x)=x_{ji}=\varphi_{ji}(x)\)
$$f_a(x)=tr(a.x)=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{ij}.\varphi_{ji}(x)$$
Entonces \(f_a\in {({\mathbb{K}}^{n\times n})}^*\) ya que es una combinación lineal de
elementos de la base dual.\(\forall a \in {\mathbb{K}}^{n\times n}\)