Tema

[Resuelto] 17/12/08 1er P 1er R - Ej 1

0 respuestas 3073 visitas 2009-10-11

#1 FJL 2009-10-11 23:38

Viste cuando te perdés en el medio de un barrio que no conocés, y durante varios minutos pensás "Ay Diós, en que ****** me metí ahora..."?
Así me siento con Álgebra Lineal xD En un ataque desesperado por estudiar para el parcial del sabado, aquí va este:

(Enunciado gracias a Diana)

Sean S y T dos subespacios de \(\mathbb{R}^{2\times 2}\) definidos por:

S=\lbrace X \in \mathbb{R}^{2\times 2} : \left(\begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{matrix}\right).X=0 \rbrace

T=\left\langle \left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right) \right\rangle

Hallar una TL \(f: \mathbb{R}^{2\times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2\times 2}\) tal que \(f(S)=f(T)\) y

\left(\begin{matrix}1 & 3\ -2 & 1 \end{matrix}\right) \in Nu(f) \cap Im(f)

Bueno, lo que vamos a tener que hacer es definir una transformación lineal. Para esto, basta definirla en una base del espacio que queramos.
Entonces esto va a ser definir a \(\{f(M_1), f(M_2), f(M_3), f(M_4)\}\), donde \(\{M_1, M_2, M_3, M_4\}\) es base de \(\mathbb{R}^{2\times 2}\).
Como voy a querer usar matrices en donde definir a f, me conviene tener bases de S y T, para trabajar mas cómodamente.
Resolviendo el sistema de S (triangulando primero a la matriz de la izquierda), tenemos que

S = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle

De la misma forma, y usando que \(\mathbb{R}^{2\times 2}\) es isomorfo a \(\mathbb{R}^4\) para que sea más fácil triangular, vemos que

T = \left\langle \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\right\rangle

Por comodidad, llamemos

A = \begin{pmatrix}1 & 3\ -2 & 1 \end{pmatrix}

.
Se puede ver que \(S \oplus T = \mathbb{R}^{2\times 2}\). También se puede ver que \(A \notin S \land A \notin T\).
Entonces, queremos que f(S) = f(T), y son disjuntos. También quiero que f(A) = 0. Pero entonces, puedo ampliar una base de S con A y un vector más, y genero \(\mathbb{R}^{2\times 2}\), osea que A y ese vector deben generar T. Para elegir el vector, basta buscar un elemento que no sea combinación lineal de algo de S y A. Por ejemplo, puedo usar un vector de T tal que arme una base.
Entonces:

B = \left{\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 3\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}\right}

es base de \(\mathbb{R}^{2\times 2}\).
Pero entonces, ya se a donde quiero mandar la tercer matriz (y se que las segundas 2 matrices generan T). Entonces, como también se que algo tiene que ir a A, puedo definir, por ejemplo,

f\begin{pmatrix}1 & 3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 0, f\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3\\ -2 & 1 \end{pmatrix}

. Pero esto ya me determina que hay que hacer con S, dado que f(S) = f(T). Un vector tiene que ir a 0, y otro tiene que ir a A. Entonces podemos definir a f como:

\begin{cases}f\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 &0\end{pmatrix} \\f\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} =& \begin{pmatrix}1 & 3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\f\begin{pmatrix}1 & 3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 &0\end{pmatrix} \\f\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix}1 & 3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\\end{cases}

Y esto cumple lo pedido.

Correcciones bienvenidas 🙂

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.