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Tema

Primer recuperatorio del primer parcial 17/12/08

5 respuestas 8553 visitas
#1 Diana

dejo los enunciados del parcial:

  1. Sean S y T dos subespacios de \(\mathbb{R}^{2x2}\) definidos por:
$$S=\lbrace X \in \mathbb{R}^{2x2} : \left(\begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{matrix}\right).X=0 \rbrace$$
$$T=\langle \left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right) \rangle$$

Hallar una TL \(f: \mathbb{R}^{2x2} \rightarrow \mathbb{R}^{2x2}\) tal que \(f(S)=f(T)\) y

$$\left(\begin{matrix}1 & 3\ -2 & 1 \end{matrix}\right) \in Nu(f) \cap Im(f)$$

  1. Decidir para qué valores reales de a y b existe un proyector \(p: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) tal que \(p(1,0,0)=(1,-1,2)\) y \(p(0,1,0)=(a,0,b)\).

  2. Sean \({\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3} \in (\mathbb{R}^{3}[x])*\) def por:

$${\phi}_{1}(P)=\int_{0}^{1}P(x) dx$$
$${\phi}_{2}(P)=P(1)$$
$${\phi}_{3}(P)=P'(1)$$

a) para cada a perteneciente a \(\mathbb{R}\) sea \({\psi}_{a} \in (\mathbb{R}^{3}[x])*\) definida por \({\psi}_{a}(P)=P''(a)\). Hallar todos los valores de a para los cuales \({\psi}_{a} \in \langle {\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3} \rangle\)

b) sea \({\phi}_{0} \in (\mathbb{R}^{3}[x])*\) tal que \(B=\lbrace{\phi}_{0},{\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3}\rbrace\) es una base de \((\mathbb{R}^{3})*\) y sea \(\lbrace{P}_{0},{P}_{1},{P}_{2},{P}_{3}\rbrace\) la base de \(\mathbb{R}^{3}[x]\) cuya base dual es B. Probar que \(\langle {P}_{0},{P}_{1} \rangle=\langle {(x-1)}^{2}, {(x-1)}^{2}x \rangle\)

4)Sabiendo que

$$det\left(\begin{matrix}a & b & c \ d & e & f \ g & h & i\end{matrix}\right)=-1$$
Calcular \(det(C), det({C}^{-1})\) y \(det(adj(C))\) siendo

$$C=\left(\begin{matrix}3b+3e+3h & 3c+3f+3i & 3a+3d+3g\\ e-2h & f-2i & d-2g \\ b+2e-2h & c+2f-2i & a+2d-2g\end{matrix}\right)$$
  1. San \(P, Q \in \mathbb{C}^{nxn}\) y sea \(T:\mathbb{C}^{nxn} \rightarrow \mathbb{C}^{nxn}\)definida por \(T(A)=P.A.Q\)

a)Probar que si \(v \in \mathbb{C}^{n}\) es un autovector de P y \(w \in \mathbb{C}^{n}\) es un autovector de \({Q}^{t}\), entonces \({v}^{t}.w\) es un autovector de T.

b) Probar que si P y Q son diagonalizables y \({{v}_{1},...,{v}_{n}}\) es una base de autovectores de P y \({{w}_{1},...,{w}_{n}}\) una base de autovectores de \({Q}^{t}\), entonces \({{{v}_{i}}^{t}{w}_{j}/1\leq i,j \leq n }\) es un conjunto LI. Deducir que T es diagonalizable.

c)Diagonalizar T para

$$P=\left(\begin{matrix}1 & -4 \ 0 & -3\end{matrix}\right), Q=\left(\begin{matrix}0 & 2 \ 1 & 1\end{matrix}\right)$$
. (es decir, encontrar una base de autovectores de T y la matriz de T en esa base).

#2 Agustin

Gracias Diana yeahkn5.gif
=)

Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
#3 bel
  1. Sean \({\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3} \in (\mathbb{R}^{3}[x])*\) def por:

{\phi}{1}(P)=\int{0}^{1}P(x) dx
{\phi}{2}(P)=P(1)
{\phi}{3}(P)=P'(1)

a) para cada a perteneciente a\(\mathbb{R} sea {\psi}_{a} \in (\mathbb{R}^{3}[x])*\) definida por \({\psi}_{a}(P)=P''(a)\). Hallar todos los valores de a para los cuales {\(\psi}_{a} \in \langle {\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3} \rangle\)

daba a= 3/4??

Firma

Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")

#4 Agustin

bel escribió:

daba a= 3/4??

Sip. =)

#5 floren.n

Hola! Quería consultar algo del ejercicio 5:
en la parte a) te pide probar que \({v}^{t}.w\) es autovector de \(T\), pero \({v}^{t}.w\) da un escalar, o estoy confundida?
Gracias

#6 Quimey

Depende si pensas que los elementos de \(\mathbb{C}^n\) son vectores fila o columna. Acá te conviene interpretarlo para que \(v^t w\) te quede una matriz cuadrada.

Firma

Quimey