Dejo los enunciados..
1. Sea \(f\) : \(\mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}\) la transformación lineal definida por \(f(x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4}) = (-x_{1}-2x_{4} , x_{1}-x_{2}+x_{3} , -x_{3}+2x_{4} , -x_{4}})\) y sea \(g\) : \(\mathbb{R}_{3}[X] \rightarrow \mathbb{R}_{3}[X]\) un endomorfismo tal que
2. (a) Hallar la matriz en la base canónica de un producto interno \(\phi\) : \(\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) para el cual se satisfacen simultáneamente
\(\bullet \; ||(0,2,1)|| = 1\) , \(||(1,-1,0)|| = 1\) , \(||(-1,6,3)|| = \sqrt{6}\) .
\(\bullet\) Las siguientes tres rectas son ortogonales: \(L_{1} = \langle (0,2,1) \rangle + (0,2,-3)\) , \(L_{2} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \textrm{/} x+y=4 \, . \, z=-5 \}\) y la recta \(L_{3}\) que pasa por los puntos \((1,1,1)\) y \((1,-2.-1)\) .
(b) Para el producto interno \(\phi\) calculado en (a), encontrar el subespacio ortogonal al vector \((2,0,1)\) .
3. Sea \(L = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \textrm{/} x+y=1 \, , \, x-z=0 \}\) y \(M = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \textrm{/} z=\frac{-1}{3} \}\) . Hallar una transformación ortogonal \(f\) : \(\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) tal que \(f(L) \subseteq M\) .
4. Sea \(\Phi\) : \(\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}\) la forma bilineal definida por \(\Phi (x,y) = -2 x_{1} y_{1} + 2 x_{1} y_{2} + 2 x_{2} y_{1} + 3 x_{2} y_{2}\) . Hallar una base \(B\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tal que
5. Sean \(A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}\) dos matrices con todos sus autovalores reales y positivos y tales que \(A^{2}\) es semejante a \(B^{2}\) . Probar que \(A\) y \(B\) son semejantes.
JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS ( 😛 )