Enunciados:
1. Sean \(A_{1} , A_{2} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\) ,
2. (a) Hallar todas las posibles formas de Jordan de una matriz \(A \in \mathbb{R}^{6 \times 6}\) tal que \(m_{A}(X) = X^{4} - 3X^{3} + 4X\) y \(tr(A) = 5\) .
(b) Hallar todas las posibles formas de Jordan de una matriz \(A \in \mathbb{C}^{8 \times 8}\) tal que \(m_{A}(X)\) divide a \(X^{2}(X-1)^{3}\) y \(dim(Nu(A)) = 3 + dim(Nu((A-Id)^{2}))\) .
3. Sea \(P,Q \in \mathbb{C}^{n \times n}\) matrices hermitianas y sea \(T\) : \(\mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}\) definida por \(T(A) = P\cdot A \cdot Q\) .
(a) Probar que \(T\) es autoadjunta para el producto interno definido por \(\langle B,C \rangle = tr(BC^{*})\) .
(b) Probar que si \(v \in \mathbb{C}^{n}\) es un autovector de \(P\) y \(w \in \mathbb{C}^{n}\) es un autovector de \(Q\) , entonces \(v^{t} \cdot \overline{w}\) es un autovector de \(T\) .
(c) Hallar una base ortonormal de \(\mathbb{C^}^{2 \times 2}\) formada por autovectores de \(T\) , si
4. Sean \(\phi_{1} \subseteq \mathbb{R}^{4}\) el plano \(\phi_{1} = \langle (1,1,0,0),(0,0,1,1) \rangle + (0,1,0,0)\) .
(a) Hallar un plano \(\phi_{2}\) alabeado con \(\phi_{1}\) y que esté a distancia \(1\) de \(\phi_{1}\) .
(b) Sea \(phi_{2}\) un plano cualquiera que satisface lo pedido en (a) y sean \(S_{1}\) y \(S_{2}\) los subespacios asociados a \(\phi_{1}\) y a \(\phi_{2}\) . Probar que \(dim(S_{1} \cap S_{2}) = 1\) .
5. Sea \(\Phi\) : \(\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) una forma bilineal simétrica cuya matriz en la base canónica de \(\mathbb{R}^{2}\) es \(M\) . Sea \(\Psi\) : \(\mathbb{R}^{2 \times 2} \times \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(\Psi (A,B) = tr(A^{t} \cdot M \cdot B )\) . Probar que la signatura de \(\Psi\) es el doble de la de \(\Phi\) .