Más enunciados..
1. Sea \(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) una matriz de rango \(1\) , sea \(S = \{ X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \textrm{/} A\cdot X = 0 \}\) y sea \(T = \langle (k,1,1),(1,k,1),(1,1,k) \rangle \subseteq \mathbb{R}^{3}\) . Hallar todos los \(k \in \mathbb{R}\) tales que existe una transformación lineal \(f\) : \(\mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) con \((S \cap Nu(f)) = \{0\}\) y \(f(S) = T\) .
2. Sea \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) una matriz inversible y sea \(v \in \mathbb{R}^{n}\) un vector tal que las \(n\) matrices que se obtienen al restar \(v\) de cada una de las filas de \(A\) no son inversibles. Probar que \(v\) es la suma de las filas de \(A\) .
3. (a) Sea \(n,k \in \mathbb{N}\) con \(k < n\) y sean \(f\) : \(\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n-k}\) un epìmorfismo y \(g\) : \(\mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) un monomorfismo tales que \(f \circ g = 0\) . Probar que existe una base \(B\) de \(\mathbb{R}^{n}\) tal que
(b) Sean
4. Sea \(K\) un cuerpo, \(A \in K^{3 \times 3}\) y \(v_{1}, v_{2}, v_{3} \in K^{3}\) . Consideramos \(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3} \in (K^{3})^{*}\) definidas por \(\varphi_{i}(v) = v_{i}Av^{t}\) para todo \(1 \leq i \leq 3\) . \(v \in K^{3}\) . Probar que \(\{\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3} \}\) es base de \((K^{3})^{*}\) si y solo si \(\{v_{1}, v_{2}, v_{3} \}\) es base de \(K^{3}\) y \(A\) es inversible.
5. (a) Hallar \(C \in \textrm{Gl}(3,\mathbb{R})\) tal que la matrices
(b) Probar que no existe \(C \in \textrm{Gl}(2,\mathbb{R})\) tal que
En este, al menos a mi, me gustó mucho el 3.
En fín, espero que sirvan para los próximos cursos, saludo.