Hola! bueno, estos ejercicios son, digamso, ejercicios fáciles de álgebra lineal.- hubo dos ejercicios de dos parciales diferentes que no me salieron, les dejo los enunciados:
12-7-01, recup. 1er parcial, ej. 4)
$$\textrm{Sea $\lbrace C(\mathbb{R})={f:\mathbb{R} \rightarrow} \mathbb{R}/f$ es continua$\rbrace$ y sea $S=\lbrace f \in C(\mathbb{R})/ f(0)=f(1)=0\rbrace$}$$
(a) \(\textrm{Probar que $S$ es un subespacio de $C(\mathbb{R})$}\)
(b) \(\textrm{Probar que $C(\mathbb{R})=S\oplus <1,x>$}\)
Mi pregunta es el (b), yo puedo mostrar que la intersección es vacía, pero no sé cómo probar que \(S+<1,x>=C(\mathbb{R})\), porque no sé cómo encontrar un sistema de generadores de \(C(\mathbb{R})\), o cómo escribir un vector generico que pertenezca, o algo.
Bueno, el otro ejercicio es:
28-5-05, 1er parcial, ej. 2)
$$\textrm{Sea $A\in {\mathbb{R}}^{3x3}$ la matriz $\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -7 \\ -1 & 0 & 3\end{matrix}\right)$. Hallar $B\in {\mathbb{R}}^{3x3}, B\neq 0$, tal que $A\cdot B=0$ y $B\cdot A=0$.}$$
(Sugerencia: usar transformaciones lineales.)
Gracias y besos!
PD: soy bel, me equivoqué de usuario, pero bueno, je.
Mi pregunta es el (b), yo puedo mostrar que la intersección es vacía, pero no sé cómo probar que S+<1,x>=C(\mathbb{R}), porque no sé cómo encontrar un sistema de generadores de C(\mathbb{R}), o cómo escribir un vector generico que pertenezca, o algo.
Bueno, a mi lo que se me ocurre es ver las inclusiones:
\(\supseteq\) , cualquier cosa de la forma \(v + t \; \in C(\mathbb{R})\) ( \(v \in S \; , \; t \in <1,x>\) ) , ya que suma de funciones contínuas : \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es una función contínua \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) .
\(\subseteq\) , Tengo \(f \in C(\mathbb{R})\) . Entonces la puedo pensar como una función contínua de \(S\) y acomodar los valores de \(f(0)\) y \(f(1)\) eligiendo apropiadamente un \(\alpha\) y un \(\beta\) en la combinación lineal:
\(f\) = \(s + \alpha \cdot 1 + \beta \cdot x\) , ( \(s \in S\) , \(f \in C(\mathbb{R})\)). (aprovechando que \(\forall s \in S \; , s(0)=s(1)=0\) ).
((El primero ya me di cuenta cómo hacerlo, se ve que aye a la noche estaba muy dormida, jaja))
gracias agustín! igual la segunda inclusión no termino de entenderla.. vos estás diciedno que cualquier función contínua la puedo escribir como una que se anule en el 0 y el 1 sumandole una función constante y una recta que pasa por el origen??? realmente no veo por qué sería así (aunque se ve una muy linda resolución, así que me gustaría entenderla, jaja)
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Ahi tenés que esa \(g\in S\). El \(h\eq=}+[f(1)-f(0)]x+f(0)\), que claramente está en el generado por \(\left \langle 1,x \right \rangle\).
Espero que esto aclare lo que faltaba. Fijate que no es tan raro como parece, si recordás que escribís a las funciones \(\mathcal{C}^{2}\) como un polinomio de Taylor y un resto(comentario aparte)
En cuanto al 2, la idea es la siguiente: tenés la matriz \(A\). Considerás \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3},\;f(v)\eq=A\cdot v\). Buscás \(B\in \mathbb{R}^{3\times 3}:A\cdot B\eq=B\cdot A\eq=0,\;B\neq 0\). Reformulá el problema con \(g:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3},g(v)\eq=B\cdot v\), quedando que buscás \(g\) que cumpla
$${f}_{o}g\eq={g}_{o}f\eq=0$$
De \({g}_{o}f\eq=0\), concluís que, particularmente:
$${g}_{o}f({e}_{1})\eq=g[f({e}_{1})]\eq=0$$
Lo mismo con \(f({e}_{2}),f({e}_{3})\)(o sea, \(g[f({e}_{2})]\eq=g[f({e}_{3})]\eq=0\). Estoy usando que de ser la t.l nula, anula los elementos de una base).
Fijate, por otro lado, que \(\det(A)\eq=0\)(si es que no hice mal la cuenta) y las dos primeras columnas de \(A\) son l.i. Luego, tomá la base \(\{f({e}_{1},f({e}_{2}),v\}\)(donde \(v\) completa). Ahora:
$${f}_{o}g\eq=0$$
De acá vas a sacar particularmente, especializando en la base que tomamos, que se debe cumplir \(f[g(v)]\eq=0\)(no aportan \(f(g[f({e}_{1})]),f(g[f({e}_{2})])\) porque antes pedimos \(g[f({e}_{1})]\eq=g[f({e}_{2})]\eq=0\) y trivialmente \(f(0)\eq=0\)).
O sea, tenés que buscar \(g\) tal que
$$g(1,2,-1)\eq=(0,0,0)$$
$$g(2,-1,0)\eq=(0,0,0)$$
$$g(v)\in Nu(f)$$
(Omití \(g(-1,-7,3)\) porque ya dije(no tan claramente) que \(rg(A)\eq=2\))
De esos datos deberías armarte la \(g\) y luego la \(B\) buscada(de existir).
Perdón si fue confuso todo. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities