Tema
Sean f y g en K[t] probar que existe un p en K[x,y] tal que p(f(t),g(t))=0
Sinceramente... no sé ni siquiera cómo abordar el ejercicio...
Quimey, si fuiste el ayudante en esa cursada... ¡que complicados los parciales eh! Como para pensar por mucho tiempo... no se si por unas horas
Gracias!
En cuanto al ejercicio:
La idea es ver que si definimos \(\phi:K[x,y]\rightarrow K[t]\) via \(\phi(p)=p(f,g)\) esto resulta una transformación lineal. Lo que se pide es mostrar que no es inyectiva. En este punto uno puede apelar al siguiente corolario del Teorema de la Dimension:
Si dim V < dim W entonces no existen monomorfismos de W en V.
El problema con este ejercicio es que los espacios involucrados son de dimension infinita, pero uno puede trabajar con los siguientes espacios:
\(K[x,y]_n=\) polinomios de grado total menor o igual que n, es decir con terminos \(x^iy^j\) donde \(i+j \leq n\).
\(K[t]_m=\) polinomios de grado menor o igual que m.
La clave es que \(\phi\) se restringe bien, se puede considerar (d=max(gr(f), gr(g))) \(\phi: K[x,y]_n\rightarrow K[t]_{nd}\).
Lo unico que falta es encontrar un n tal que \(dim(K[x,y]_n)>dim(K[t]_{nd})\)
En cuanto a la cursada la idea era que los 3 primeros eran faciles y los 3 ultimos dificiles, ademas en el parcial se podia tener cualquier cosa y hubo 2 recuperatorios para cada parcial.
Tene en cuenta que este ejercicio era el ultimo y por lo tanto el más dificil de ese parcial.
Quimey
GRACIASS!!!
Buena la idea de "se podìa tener cualquier cosa"... especialmente para ejercicios como estos