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Tema

1º recuperatorio del primer parcial (12/12/00)- Ejercicio 3

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#1 Diana

Sea \(A \in \mathbb{R}^{4x4}\) una matriz de rango 2. Sea \(f: \mathbb{R}^{4x2} \rightarrow \mathbb{R}^{4x2}\) la TL definida por \(f(B)=AB\). Calcular la dim de la Im(f).

lo que pensé fue:
\(dim(Im(f))=Rg({|f|}_{E})=Rg(|{f}_{A}|.|{f}_{B}|) \leq Rg(|{f}_{A}|)=Rg(A)=2\)

esto está bien? si no, cómo se haría?

#2 Diana

Lo que hice está mal, por que B es móvil...

Posteo la idea que me dio Exequiel:

El \(Rg(A)=2\) entonces de aca sale que el \(Nu(A)=2\) (por ser V de dim 4). esto quiere decir que \(\exists v,w\in \mathbb{R}^{4}\), linealmente independientes tales que \(A\cdot {v}^{t}\eq=A\cdot {w}^{t}\eq=0\).
Para calcular la dim de la imagen de f, puedo formarme una base B' de \(\mathbb{R}^{4x2}\) y calcular \(f(B')\),
Sea

$${B}_{1}\eq=\begin{pmatrix} {v}^{t} & 0\end{pmatrix}$$
$${B}_{2}\eq=\begin{pmatrix} {w}^{t} & 0\end{pmatrix}$$
$${B}_{3}\eq=\begin{pmatrix} 0 & {v}^{t}\end{pmatrix}$$
$${B}_{4}\eq=\begin{pmatrix} 0 & {w}^{t}\end{pmatrix}$$
$${B}_{5}\eq=\begin{pmatrix} {a}^{t} & {b}^{t}\end{pmatrix}$$
$${B}_{6}\eq=\begin{pmatrix} {c}^{t} & {d}^{t}\end{pmatrix}$$
$${B}_{7}\eq=\begin{pmatrix} {e}^{t} & {f}^{t}\end{pmatrix}$$
$${B}_{8}\eq=\begin{pmatrix} {g}^{t} & {h}^{t}\end{pmatrix}$$

con \(a,b,c,d,e,f,g,h\) LI con \(v,w\) entonces \({B}_{i}\) son LI y forman la base B'.
Luego \(f(B')=\langle f({B}_{5}),f({B}_{6}),f({B}_{7}),f({B}_{8})\rangle\) ya que \(f({B}_{1})=f({B}_{2})=f({B}_{3})=f({B}_{4})=0\) cualquier elemento del núcleo de f tiene que tener por columnas, alguna combinación lineal de \(v,w\), entonces el núcleo de f es de dimensión 4, y por lo tanto, la imágen de f es de dimensión 4.

ahora está bien?

Editado 3 veces.

#3 exequiel131719

Una cosa(recién me di cuenta), las primeras cuatro matrices son l.i, pero las otras dos que armaste ya son l.d, porque las obtenés de sumar las primeras cuatro. Sin embargo, con eso ya basta, porque fijate que \(f({B}_{1}),f({B}_{2}),f({B}_{3},f({B}_{4})\in Nu(f)\). Pero:
\(B\eq=( {v}_{1}^{t} | {v}_{2}^{t})\in Nu(f)\iff A\cdot {v}_{1}^{t}\eq=A\cdot {v}_{2}^{t}\eq=0\iff {v}_{1},{v}_{2}\in Nu(A)\).
Fijate luego que cualquier matriz que anule a \(A\) tendrá que tener por columnas a vectores que sean combinación lineal de los \(v,w\) que elegiste... en definitiva(afiná esto que digo), el \(\dim(Nu(f))\eq=4\iff dim(Im(f))\eq=8-4\eq=4\).
Perdón por equivocarme con algo de lo que dije antes. Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#4 Diana

ahí corregí... la justificación me quedó floja... jajaja, un poco desafinada

exequiel131719 escribió:

(afiná esto que digo)