Sea V un R-ev v1, v2, v3 vectores en V y F1, F2, F3 elementos de V* que satisfacen:
<v1, v2>º = <F1>
<v1, v2+v3>º = <F1+F2>
<v1+v3, v1+v2>º = <F1+F3>
Probar que {v1,v2,v3} es base de V <=> {F1,F2,F3} base de V*
Creo que sale aplicando las propiedades:
si S subespacio de V => dim(Sº)= dim(V)-dim(S)
sean S y T subespacios de V
=> i) (S+T)º= Sº intersección Tº
ii) (S intersección T)º= Sº+Tº
Pero por alguna razón al final la primera implicación me falta un toque para probarla. Llego a que {F1,F2} li, {F1,F3} li y {F1+F2,F1+F3} pero no a que {F1,F2,F3} li
Se agradece cualquier tipo de ayuda y disculpas si algo esta escrito medio como pude jeje, no se usar LaTeX
El problema es que creo que no podes calcular intersecciones entre cosas con v1,v2,v3 si no sabes que son una base.
Te piden que pruebes que \(\{{v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}\}\) es una base de V\(\Leftrightarrow \{{f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\}\) es base de V*.
Entonces haces \(\Rightarrow)\) Supongamos que \(\{{v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}\}\) es una base de V, entonces podes usar las propiedades de los anuladores, calculando intersecciones. Me parece que la cosa es que tenés que llegar a calcular los núcleos de \({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\), y usar que \(\{{f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\}\) es base de V* \(\Leftrightarrow\) la intersección entre los núcleos de \({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\) es =0.
Y despues hacer la vuelta \(\Leftarrow)\) suponiendo que \(\{{f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}\}\) es base de V*.
Ahhh y que desagradecido. Muchas gracias diana por la respuesta, me fijo por ese lado a ver si sale algo, y muchas gracias por lo de los nucleos tambien por q estaba medio perdido.