$$\textrm{ Hallar, si es posible, $A\in{\mathbb{R}}^{4x4}$ simetrica tal que: }$$
(a) \(\textrm{A y $(A-2I)({A}^{2}-A+4I)$ no sean inversibles}\)
(b) \(\textrm{(0,1,1,0) y (1,1,0,0) sean autovectores de A}\)
(c) \(\textrm{-2 sea autovalor de ${A}^{2}-7A+10I$ }\)
(d) \(\textrm{tr(A)=6}\)
Bueno yo pido principalmente una idea general. una ayuda.. porque la verdad no sé cómo relacionar que el 0 sea autovalor de \((A-2I)({A}^{2}-A+4I)\) con un autovalor de A o algún dato sobre A.. hay alguna relación entre estos? cuál es? muchas gracias
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
bueno lo empezamos a hacer, pero nos trabamos en un punto. A ver si alguien nos da una mano 😄
Como A es simetrica, entonces \($\exists$ $O,{O}^{t}$\) tal que \($A=O.D.{O}^{t}$\), con D diagonal.
Entonces de (c) se obtiene que \($O.({D}^{2}-7D+10I).{O}^{t}$\) tiene como autovalor al -2, por lo que, consdierando la matriz \(${D}^{2}-7D+10I$\), que es una matriz diagonal en cuyas diagonales aparecen las expresiones \(${{\lambda}_{i}}}^{2}-7{\lambda}_{i}+10$\), con \({\lambda}_{i}\) los autovalores de A; se obtiene que para algún i, \(${{\lambda}_{i}}}^{2}-7{\lambda}_{i}+10=-2$\); de donde se obtiene que 3 y 4 son posibles autovalores (debe ser uno de ellos, pero podrían ser ambos).
Luego se hace un razonamiento similar con el ítem (a), y se obtiene que 2 debe ser autovalor de A. Además, como A no es inversible, 0 es autovalor de A. Entonces, usando el ítem (d), sabemos que la traza debe sum,ar 6, entocnes quedan sólo dos posibilidades de autovalores para A: 1,3,0,2 y 4,2,0,0.
Hasta acá llegamos, pero no sabemos cómo usar el la condición (b), la de los autovectores. Cualquier ayuda será por demás de agradecida 🙂
Bueno, espero que les haya sido útil a los que tampoco sabían como encararlo yq ue justamente se les ocurra como terminarlo y me lo cuenten, jaja. gracias desde ya
Como seguir...(?)
Sea \(f(x)=Ax\), como A es simetrica, f es autoadjunta, por lo tanto existe una base ortonormal formada por los autovectores de f donde la matriz de f es diagonal, sabemos que el (1,1,0,0) y el (0,1,1,0) son autovectores de f, como no son ortogonales entre si, deben pertencer al mismo autoespacio para poder buscar vectores ortonormales en ese autoespacio, esto deja al 4, 2 y 0 como los unicos autovalores posibles. Por lo tanto debo hallar una base ortonomal, ver que el cambio de base con la canonica sea ortogonal (la inversa igual a la transpuesta) entonces puedo hacer \(A={C(E,B)}^{t}DC(E,B)\) donde D es la matriz diagonal formada por los autovalores 4, 2 y 0 (el cero aparece dos veces y corresponde al autoespacio del (1,1,0,0) y el (0,1,1,0))
Habría que hacer las cuentas, pero ODIO ortonomalizar bases
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
la idea e teléfono está perfecta. Ahora tienen que elegir dos autovectores más, a piacere, con la única condición de que tienen que ser ortogonales a los dos anteriores, y de norma 1. Tienen entonces escrita su matriz en la base ortonormal. Hacen un cambio de base y queda lo que les pedían. Saludos.
PD: Me encanta la desesperación con la que preguntan... y luego responden =). Noto que en general el nivel de las respuestas en todo el foro va subiendo, la gente trata de al menos proponer algo, decir qué intentó, etc.