Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (y justificar, como siempre):
i) Sean \(A, B \in \mathbb{R}^{5x5}\) Entonces:
$$Rg(A+B) \leq Rg(A)+Rg(B)$$
ii) Sea \(A=({C}_{1}|{C}_{2}|{C}_{3}|{C}_{4}|{C}_{5}) \in \mathbb{R}^{5x5}\) escrita por columnas. Si existe una columna que no es combinación lineal de las otras cuatro columnas, entonces \(Adj(A)\neq0\)
i)lo que llegué a pensar...
Sea \(A=({A}_{1}|{A}_{2}|{A}_{3}|{A}_{4}|{A}_{5})\) y \(B=({B}_{1}|{B}_{2}|{B}_{3}|{B}_{4}|{B}_{5})\) con \({A}_{i}, {B}_{i}\) vectores de \(\mathbb{R}^{5}\)
entonces \(A+B=({A}_{1}+{B}_{1}|{A}_{2}+{B}_{2}|{A}_{3}+{B}_{3}|{A}_{4}+{B}_{4}|{A}_{5}+{B}_{5})\)
Luego, el \(Rg(A+B)=dim({A}_{1}+{B}_{1},{A}_{2}+{B}_{2},{A}_{3}+{B}_{3},{A}_{4}+{B}_{4},{A}_{5}+{B}_{5})\)
como yo se que
mas resumido:
\(Rg(A+B) \leq Rg(A)+Rg(B)-dim(\langle{A}_{1},{A}_{2},{A}_{3},{A}_{4},{A}_{5}\rangle \land \langle{B}_{1},{B}_{2},{B}_{3},{B}_{4},{B}_{5}\rangle)\)
y ahora? es cualquier cosa lo que hice??
ii)
Como hay una columna que es LI con las otras 4, reguro que el \(Rg(A)\geq 2\)
Si\(Rg(A)=4\) entonces existe una submatriz de 4x4 tal que su determinante es distinto de 0. Por def de la adj \({(Adj(A))}_{ij}={(-1)}^{i+j}.det(A(i|j))\neq0\) para algun ij. Entonces \(Adj(A)\neq0.\).
Si \(Rg(A)=5\), el \(det(A)\neq0\). Luego \(A.Adj(A)=det(A).I\) que es una matriz no nula, entonces la Adjunta no puede ser nula.
\(rg(A+B)\leq rg(A)+rg(B)-\dim({S}_{1}\cap {S}_{2})\leq rg(A)+rg(B)\)... ¿no te parece que si le restas algo obtenés menos que si no le restarás?
Si el \(rg(A)<4\) quiere decir que no existe una submatriz de \(4\times 4\) de \(A\) que sea inversible... ergo?
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities