Bueno, el ejercicio que no me salio el otro dia en el parcial, espero que ahora si
Sean \(A,B\in \mathbb{C}^{nxn}\) dos matrices con todos sus autovalores reales y positivos y tales que \({A}^{2}\) es semejante a \({B}^{2}\). Probar que \(A\sim B\)
\({A}^{2}\sim {B}^{2}\Rightarrow {A}^{2}=C{B}^{2}{C}^{-1}, C\in GL(n,\mathbb{C})\)
Como A tiene todos sus autovalores distintos de cero, es inversible
1 es el único autovalor de \({B}^{2}\), y el bloque de jordan más grande es de 1x1, por lo tanto, la forma de jordan de \({B}^{2}\) es la identidad de nxn, analogamente se deduce lo mismo para \({A}^{2}\)
Aca empieza la parte que no estoy muy seguro
\(A=E{J}_{A}{E}^{-1}\Rightarrow {A}^{2}=E{{J}_{A}}^{2}{E}^{-1}, E\in GL(n,\mathbb{C}),{J}_{A}\) es la forma de Jordan de A
\(\Rightarrow {{J}_{A}}^{2}={I}_{n}\Rightarrow {J}_{A}={I}_{n}\) (Como A tiene autovalores positivos, la forma de Jordan de A no puede ser igual a la identidad negativa)
Razonando de igual manera para B, queda que las formas de Jordan de A y B son iguales, por lo tanto A y B son semejantes
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
Sin ofender, esta todo mal!
Te equivocaste cuando pones B semejante a la identidad.
Pasas un A como inversa pero al otro no.
Fijate por ejemplo si A=B entonces deducirias que B es semejante a la identidad y luego toda matriz inversible seria semejante a la identidad, lo que es claramente falso.
. \({A}^{2}\sim {B}^{2}\), porque son transpuestas, y no son semejantes a la identidad, y tienen de autovalor al \(1\), que es positivo.
PD: cómo aparecés antes en todos los post que voy a estar Quimey? Me ganaste de nuevo de mano...
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities