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[duda] recuperatorio 2do parcial - 1er cuatrimestre 2000

2 respuestas 3900 visitas 2008-12-14

#1 bel 2008-12-14 05:35

Ejercicio 3:

Sea \({A}_{n}=\)

\left(\begin{matrix}n & 1 & 1\ 1 & n &1\ 1 & 1 &n\end{matrix}\right)

. Hallar, para cada n en \(\mathbb{N}\), sus autovalores y autovectores.

Bueno, yo no sé si es la hora o qué, pero yo lo que empecé a hacer fue esto:

Busqué el minimal de A, y encontré que era \({m}_{A}=x(x-(n+2))\)

Ahora bien.. el determinante de esa matriz no es 0 para todo n, y según lo que me dio ahí el 0 es autovalor para todo n.. estoy haicendo cualquier ocsa no? espero que sea la hora jaja. Bueno agradezco su ayuda desde ya 🙂

Firma

Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")

#2 Agustin 2008-12-14 06:35

Bueno, yo hice lo siguiente:
\(\chi_{A} = (X-n)^{3} -3 (X-n) -2\) .
Ahora, veamos el polinomio: \(Y^3 - 3 Y - 2\) . Notar que su factorización es \((Y+1)^{2} \cdot (Y-2)\) , (es decir que las raíces son \(2\) y \(-1\) ).
Luego, tengo lo siguiente:
Cuando \(X-n = 2\) o \(X-n = -1\) , \(\chi_{A} = 0\) .
es decir que dado \(n\) , las raíces de \(\chi_{A}\) son: \(n+2\) y \(n-1\) .
Es decir, que para \(n = k\) , los autovalores son \(k+2\) y \(k-1\) .

Calculemos los autovectores:

Nu \left(\begin{matrix} k-(k+2) & 1 & 1 \\ 1 & k-(k+2) & 1 \\ 1 & 1 & k-(k+2) \end{matrix}\right) = <(1,1,1)>

Nu \left(\begin{matrix} k-(k-1) & 1 & 1 \\ 1 & k-(k-1) & 1 \\ 1 & 1 & k-(k-1) \end{matrix}\right) = <(-1,1,0) , (-1,0,1)>

Listo 🙂

Saludo

Firma

Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box

#3 exequiel131719 2008-12-14 06:50

Otra manera:
Noten que quiero todos los \(v\eq=(x,y,z)\) tales que

A\eq=\begin{pmatrix} n & 1 & 1 \ 1 & n & 1 \ 1 & 1 & n\end{pmatrix} {v}^{t}\eq=k{v}^{t}

.
Como

\begin{pmatrix} n & 1 & 1 \ 1 & n & 1 \ 1 & 1 & n\end{pmatrix}\eq=n{I}_{3}+\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\ 1 & 0 & 0\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}

Luego, tenemos:

A\cdot {v}^{t}\eq= n{v}^{t}+\begin{pmatrix} y+z \\z\\0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ x \\ x+y\end{pmatrix}\eq=\begin{pmatrix} (n-1)x+x+y+z\\(n-1)y +x+ y+ z\\ (n-1)z+x+y+z\end{pmatrix}\eq=\begin{pmatrix} kx \\ ky \\ kz\end{pmatrix}

Luego, tenemos en definitiva el sistema:

\begin{cases} (n-1)x+x+y+z\eq=kx\\ (n-1)y +x+ y+ z\eq=ky\\(n-1)z+x+y+z\eq=kz\end{cases}

Sumando las tres tenemos \((n-1)(x+y+z)+3(x+y+z)\eq=k(x+y+z)\iff (n+2-k)(x+y+z)\eq=0\) De acá sale que \(k\eq=n+2\) es autovalor, y que los autovectores restantes son soluciones de \(x+y+z\eq=0\). Los números que faltan están en la resolución de Agustín, que de acá salen rápido. Espero que sirva este camino. Saludos.

PD: en realidad, ¿otro camino? eso es muy discutible...

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities