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$$A=\left(\begin{matrix}-6 & 24 & 6 \ -6 & 24 & 6 \ 0 & -12 & 0\end{matrix}\right)$$
Hallar \(M \in \mathbb{R}^{3x3}\) tal que \({M}^{2}-M=A\) y \(tr(M)=0\)
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Tema
Ejercicios Adicionales (primer parcial) - Ej 10
Hallar \(M \in \mathbb{R}^{3x3}\) tal que \({M}^{2}-M=A\) y \(tr(M)=0\)
Antes que nada, el ejercicio te pide \(M\) tal que \(tr(M)=0\)
Diagonalizamos \(A\) . Nos queda:
$$C \cdot A \cdot C^{-1} = \left(\begin{matrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
Ahora, tomemos
$$M^{'} = \left(\begin{matrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
$$(M^{'})^{2} = \left(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
Notar que \(tr(M) = 0\) y de existir \(M\) , \(18 = tr(A)=tr(M^{2} - M) = tr(M^{2}) - tr(M) = tr(M^{2})\) .
Ahora,
$$C \cdot A \cdot C^{-1} = \left(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 \ 0 & 9 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} -3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
.Entonces:
$$A = C^{-1} \cdot \left( \left(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \right) \cdot C$$
$$A = C^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \cdot C - C^{-1} \cdot\left(\begin{matrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \cdot C$$
Luego tomo:
$$M = C^{-1} \cdot\left(\begin{matrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \cdot C$$
Se puede chequear que cumple todo lo pedido.
Saludos.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
Si, ya lo corregí lo de la traza... gracias! era más facil de lo que pensaba =)