Problema 6: Sean \(\mathbb{V}_1, \mathbb{V}_2, \mathbb{V}_3, \mathbb{W}_1, \mathbb{W}_2, \mathbb{W}_3\) espacios vectoriales. Supongamos que tenemos el siguiente diagrama de transformaciones lineales:
donde \(a\) y \(c\) son monomorfismos, \(b\) y \(d\) son epimorfismos, \(Ker(b) = Im(a)\), \(Ker(d) = Im(c)\), \(f_2 \circ a = c\circ f_1\) y \(f_3 \circ b = d \circ f_2\). Probar que si \(f_1\) y \(f_3\) son monomorfismos (resp. epimorfismos) entonces \(f_2\) también es monomorfismo (resp. epimorfismo).
Bueno, necesitamos probar que \(f_2\) es monomorfismo, osea que \(Ker(f) = \{0\}\). Entonces, lo que podemos hacer es ver quien es \(v_2 \in \mathbb{V}_2\) tal que \(f_2(v_2) = 0\), y queremos probar que \(v_2 = 0\).
Si \(f_2(v_2) = 0\), entonces \((d \circ f_2)(v_2) = 0 = (f_3 \circ b)(v_2) = f_3(b(v_2)) = 0\). Pero \(f_3\) era un monomorfismo. Entonces \(b(v_2) = 0\). Entonces \(v_2 \in Ker(b)\), pero sabemos que \(Ker(b) = Im(a)\), entonces \(v_2 \in Im(a)\), osea que existe un \(v_1 \in \mathbb{V}_1\) tal que \(a(v_1) = v_2\).
Sabemos que \(f_2 \circ a = c\circ f_1\). Es fácil ver que si \(f, g\) son monomorfismos, \(f \circ g\) también lo es. Entonces, \(c \circ f_1\) monomorfismo, y entonces \(f_2 \circ a\) es monomorfismo. Entonces si \(f_2(a(x)) = 0\), esto implica que \(x = 0\). Por otra parte, teníamos que existe un \(v_1\) tal que \(a(v_1) = v_2\). Entonces existe un \(v_1\) tal que \(f_2(a(v_1)) = f_2(v_2) = 0\), por definición de \(v_2\), entonces \(v_1 = 0\). Pero entonces \(a(v_1) = v_2 \iff a(0) = v_2 \iff v_2 = 0\), que es lo que queríamos demostrar.
Ahora necesitamos probar que \(f_2\) es epimorfismo, osea que \(Im(f_2) = \mathbb{W}_2\). Entonces tengo que decir que si \(w_2 \in \mathbb{W}_2\), entonces \(\exists\ x \in \mathbb{V}_2\) tal que \(f_2(x) = w_2\).
Esto es mucho mas largo, tedioso y...feo. Me tomó (no te jodo) 7 horas.
Sea \(w_2 \in \mathbb{W}_2\). \(d(w_2) \in \mathbb{W}_3\). \(f_3\) es epimorfismo, entonces \(\exists\ v_3 \in \mathbb{V}_3\) tal que \(f_3(v_3) = d(w_2)\). Pero \(b\) es un epimorfismo, entonces \(\exists\ v_2 \in \mathbb{V}_2\) tal que \(b(v_2) = v_3\).
Entonces \(f_3(b(v_2)) = f_3(v_3) \iff d(f_2(v_2)) = d(w_2)\) (simplemente reemplazé cada lado por lo que sé que es).
Consideremos \(w = w_2 - f_2(v_2)\). Es claro que \(w \in \mathbb{W}_2\).
Puedo tomar \(d(w) = d(w_2 - f_2(v_2)) = d(w_2) - d(f_2(v_2))\). Pero, por como construimos \(v_2\), esto es igual a 0.
Entonces sabemos que \(w \in Ker(d)\). Pero \(Ker(d) = Im(c)\), entonces \(w \in Im(c)\).
Entonces \(\exists\ w_1 \in \mathbb{W}_1\) tal que \(c(w_1) = w\).
Pero \(f_1\) es un epimorfismo, entonces \(\exists\ v_1 \in \mathbb{V}_1\) tal que \(f_1(v_1) = w_1\).
Consideremos \(x = v_2 + a(v_1)\). Entonces se puede ver que \(f_2(x) = f_2(v_2 + a(v_1)) =\)\(f_2(v_2) + f_2(a(v_1)) = (w_2 - w) + c(f_1(v_1)) =\)\(w_2 - w + w = w_2\), entonces \(f_2(x) = w_2\), que es lo que queríamos demostrar.
Bueno, esto fue todo, espero que les haya gustadoooooo chau.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Buenas! Estuve intentando hacer el ejercicio 3 de este parcial pero no se cómo continuarlo.
El ejercicio dice: Sean \(A,B\in{K}^{nxn}\) tales que \(A+B=Id\) y \(rg(A)+rg(B)=n\). Probar que \(A\) y
\(B\) son proyectores:
Como \(A+B=Id\) entonces \(rg(A+B)=n\) entonces \(rg(A+B)=rg(A)+rg(B)=n\). Además \(A+B\) es proyector por ser la identidad. Luego \((A+B)={(A+B)}^{2}\)
Ademas por ser proyector: \(rg(A+B)=tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=n=rg(A)+rg(B)\).
Pensé en intentar probar que si una no es proyector entonces la otra tampoco puede ser.. pero la verdad que no tengo ni idea.. Si a alguien se le ocurre algo.. gracias!
Claro, si: \(dim(Nu(A))=r\) entonces \(rg(A)=n-r\) y como sabemos que \(rg(A)+rg(B)=n\) entonces \(rg(B)=r\) o sea, \(dim(Nu(A))=rg(B)\) y \(dim(Nu(B))=rg(A)\)
o sea, si \(v\in Nu(A)\) entonces\(B.v\neq0\) lo mismo al reves.. verdad? gracias!
Este es mi intento de resolucion para el de los proyectores.
Quiero ver que es un proyector usando la propiedad que \(f(x) = x\) para todo x perteneciente a la imagen de \(f\).
Como \(A+B = Id \rightarrow (A+B)v = (Id)v = v\)
Ahora, sea \(V\) una base de \(K^n\), quiero ver dos cosas, una es que la intersección de los nucleos es 0, osea que estan en suma directa y forman una base de \(K^n\) y la otra es que si un elemento pertenece al nucleo B, ese elemento por A vuelve a dar el mismo(También para nucleo de A con B), y usando eso ver que A y B son proyectores.
Propongamos que \(v\in Nu(A)\) y \(w \in Nu(B)\), entonces tenemos que:
\(v = (Id)v = (A+B)v = Av + Bv = Bv\), osea que para todo elemento v del nucleo de A, \(Bv = v\)
Lo mismo para el nucleo de B es decir
$$w = (Id)w = (A+B)w = Aw + Bw = Aw$$
Ahora tomemos \(y \in (Nu(A) \cap Nu (B))\)
Tenemos que \(y = (Id)y = (A+B)y = Ay + By = 0\)
Osea que el unico elemento de la intersección es el vector 0, y ademas (aca usamos el rango de A y B), la suma de los Nucleos de A y B también es n.
Por lo tanto concluimos: \(Nu(A) \oplus Nu(B) = V\)
Osea que todo elemento del nucleo de A pertenece a la imagen de B (sino se anularia en B) y todo elemento del nucleo de B pertenece a la imagen de A, veamos usando la proposicion del principio que \(AAw = w\) y \(BBv = v\).
De vuelta, sea \(w\in Nu(B), w\in Img(A)\)
Ahora, como la suma conmuta \(w = (Id)w = (Id)(Id)w = (B+A)(B+A)w = B^2w + 2ABw + A^2w = 0 + 0 + A^2w\) luego a es un proyector. Usando el mismo argumento con v en la imagen de A sale que B es proyector.
Una duda del 5) del mismo parcial, dice:
Problema 5: Sea \(A \in \mathbb{R}^{nxn}\). Probar que \(A\) es un proyector si y solo si \(2A - I\) es idempotente (es decir, es inversa de si misma).
Esto es lo que intente hacer, ida, supongamos que A es proyector e intentemos probar que \(2A - I\) es inversa de si misma.
\((2A-I)(2A-I) = 4A^2 - 4A + I^2\) como A es un proyector AA = A, entonces \(4A^2 - 4A + I = 4A - 4A + I = I\)
No me sale la vuelta, osea llego a esto:
Supongamos que vale (2A-I) es inversa de si misma, entonces tenemos que:
\(I = (2A-I)(2A-I) = 4A^2 -4A + I\) restando I tenemos \(4A^2 - 4A = 0 = 4A(A - I)\), osea que A es la matriz 0, la cual proyecta para cualquier vector o A = I.
Pero con A en 3x3 con dos 1 en la diagonal y un 0 sigue valiendo que (2A-I)(2A-I) = I pero no es la matriz I, ni la matriz 0.
Edit (A ver si esto funciona para la vuelta): Sea \(V\) una base de \(R^n\), veamos que si es inversible de si misma entonces \(A\) es un proyector. Agarremos un \(v\in V\) cualquiera, entonces
\(v = (Id)v = (2A-I)(2A-I)v = 4A^2v - 4Av + Id^2v\), restando (Id)v tenemos
\(4A^2v - 4Av = 0\), ahora tengo 2 casos, uno que A sea la matriz nula. Y el otro es que
o \(Av = 0\) o \(Av = v\). Ahora si es el caso 2, estamos evaluando en los v de una base, y algunos vectores van a si mismos y otros al 0. Osea que \(Img(A) \oplus Nu(A) = V\), y ademas \(AAv = Av\)
No vale que si el producto de dos matrices es 0 entonces alguna de las dos es 0 (es lo que usaste para concluir que A es 0 o la identidad).
Pero tenes que \(4A^2-4A=0\), pasando A para el otro lado y dividiendo por 4, se obtiene \(A^2=A\) que es lo que querias probar
