- Sea $$\begin{pmatrix}-6 & 24 & 6 \-6 & 24 & 6 \0 & -12 & 0\end{pmatrix}$$Hallar M tal que \(M^{2}-M=A\) y \(tr(M)=0\)
Lo único que pude hacer es ver que la matriz se diagonaliza con autovalores 0, 6 y 12 pero no tengo idea como pensar las condiciones!!
2)Sea
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \-1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
a) Hallar forma y base de Jordan
b)Hallar subespacios \(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},S_{5},S_{6}\) A invariantes tales que \(dim(S_{i}))i\) y que \(S_{i}\bigoplus S_{7-i}=\mathbb{R}^{7}\)
La forma de jordan es
$$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
y la base de jordan es \(\mathbb{B}=\{(1,0,0,0,0,0,0);(1,1,-1,-1,0,0,0);(0,0,0,-1,0,1,-1);(-1,0,1,1,0,0,0);(0,0,0,1,0,0,0);(0,0,0,0,-1,0,0);(0,0,0,1,0,0,1)\}\)Si llamo tal base \(\mathbb{B}=\lbrace v_{i}\rbrace_{1\leq i\leq7}\) tengo que :
$$S_{1}=\langle v_{7}\rangle$$
$$S_{6}=\langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6}\rangle$$
$$S_{2}=\langle v_{5},v_{6}\rangle$$
$$S_{5}=\langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{7}\rangle$$
$$S_{3}=\langle v_{5},v_{6},v_{7}\rangle$$
\(S_{4}=\langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\rangle\)
- Sea \(A\in \mathbb{C}^{3\times 3}\) no diagonalizable tal que \(A\sim A^{2}\) Probar que \(A\sim A^{3}\)
Este no tengo idea... probé con las formas de jordan pero no me salió
4)En \(\mathbb{R}_{3}[x]\) se considera \(M=\{f\in \mathbb{R}_{3}[x]/f(0)=1,f''(0)=2\}\) y el producto interior \(\langle f,g\rangle = f(1)g(1)+f'(1)g'(1)+\frac{1}{4}f''(1)g''(1)+\frac{1}{36}f'''(1)g'''(1)\) Calcular \(d(x^{2},M)\)
Los número s que me quedaron en este ejercicio son horribles... sospecho que está mal
Primero digo que un elemento cualquiera de M tiene la siguiente forma: \(f=ax^{3}+x^{2}+bx+1\)
Luego una base de M puede ser
$$\mathbb{M}={x^{2}+x+1,x^{3}+x^{2}+1}[\tex] Entonces lo que voy a hacer es buscar la proyección de [Tex]x^{2}$$
sobre M. Hago los siguientes productos:
$$\langle x^{2}+x+1,x^{2}+x+1\rangle = 22$$
$$\langle x^{3}+x^{2}+1,x^{3}+x^{2}+1\rangle = 134[\tex] [Tex]\langle x^{2},x^{2}+x+1\rangle = 13$$
$$\langle x^{2},x^{3}+x^{2}+1\rangle = 29$$
con lo cual \(Proy_{M}(x^{2})=\frax{13}{22}(x^{2}+x+1)+\frac{29}{134}(x^{3}+x^{2}+1)\)
Esto queda horrendo. Luego la distancia es \(\Vert x^{2}-Proy_{M}(x^{2})\Vert\)
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