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[mas o menos resuelto] 2do parcial 1r cuatri 2003

0 respuestas 6645 visitas 2009-07-23

#1 ALE 2009-07-23 17:59

Pomgo los enunciados y despuès las resoluciones (por la mitad 😛)

Sea $A\in \mathbb{R}^{6\times 6}$ tal que $\chi_{a}=(X+1)^{3}(X-1)^{2}(X-2)$ Calcular las posibles formas de jordan de A si la suma de las raices de su polin minimal coincide con el producto.

Bueno, las raíces del minimal serán -1 1 y 2 con cierta multimplicidad. Resulta que la única combinación posible para que coincidan suma y producto es $m_{A}=(X+1)^{2}(X-2)(X-1)^{2}$
De aquí deduzco que los mayores bloques de jordan son de 2 para -1 y para 1, y de 1 para 2 quedando una única posibilidad para la forma de jordan:

\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Sea $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ tal que $\chi_{A}=(X-1)^{n}$ y tal que $A\sim A^{2}$ Probar que $rg(A-I)=rg(A^{2}-I)$

Bueno, del polinomio caracterísitco de A sabemos que 1 es autovalor de A de orden n y único. Con lo cual 0 no puede ser autovalor de A así que A es inversible. Entonces Nu(A) tiene dimensión 0 así que rg(A)=n
Además, $A^{2}$ tiene también autovalor 1 pues sus autovalores son los de A, elevados al cuadrado
Si ambas resultan diagonalizables es fácil llegar a la tesis. Pensemos el caso general de que no lo sean... O sea usando sus formas de Jordan
Sea J la forma de jordan de A, entonces $J^{2}$ es la forma de jordan de $A^{2}$ (fácil de ver, basta con multiplicar A por sí misma.) Entonces tenemos que $\exists L\in GL(n,\mathbb{C})$ de modo tal que $A=LJL^{-1}$ y $A^{2}=LJ^{2}L^{-1}$
Pero también $A^{2}\sim A \Longrightarrow \exists M\in GL(n,\mathbb{C})/A=MA^{2}M^{-1}$ Reemplazando queda: $MA^{2}M^{-1}=LJL^{1} \Longrightarrow A^{2}=(M^{-1}L)J(M^{-1}L)^{-1}$
Asi que la forma de jordan de A al cuadrado coincide con la de A

Por otra parte A-I es nilpotente de orden al menos n con lo que todos sus autovalores son 0, asi que $A-I \sim J-I \Longrightarrow rg(A-I)=rg(J-I)$
Además $A^{2}=CJC^{-1}\Longrightarrow A^{2}-I=CJC^{-1}-CC^{-1}\Longrightarrow A^{2}-I=C(J-I)C^{-1}\Longrightarrow rg(A^{2}-I)=rg(J-I)$
Listo

3)Sea $f:\mathbb{R}^{5}\longrightarrow \mathbb{R}^{5}$ tal que su matriz asociada en la base canónica es:

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\-1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\-1 & -1 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

a) Exhibir un subespacio invariante T propio de dim máxima b) Exhibir otro subespacio invariante S de dim máxima tal que f restringida a S sea diagonalizable.

No voy a hacer todo, pero la idea es buscar la forma y una base de jordan para f. Resulta que tales cosas son:

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

y la base $\mathbb{B}=\{(1,1,-2,-1,2);(0,0,1,-2,0);(0,2,0,-3,1);(0,0,0,1,-1);(0,0,1,0,0)\}$ Entonces yo digo que la máxima dimensión de un T invariante estaría dado por los dos bloques de dos, o sea: $T=\langle (1,1,-2,-1,2);(0,0,1,-2,0);(0,2,0,-3,1);(0,0,0,1,-1) \rangle$ Y que el mayor de los S tal que f sea diagonalizable sería solamente de dim 1 $S=\langle (0,0,1,0,0) \rangle$

Sea $A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ la matriz $\begin{pmatrix}5 & 3 & 3 & -3 \3 & 5 & -3 & 3 \3 & -3 & -1 & -3 \-3 & 3 & -3 & -1\end{pmatrix}$ Hallar todos los autovalores y autovectores de A sabiendo que sus autoespacios tienen dimensión 2 y que (1,1,0,0) es autovalor.

Puede verse que (1,1,0,0) es autovalor de autovector 8. Faltaría entonces otro autovector para este autovalor, y luego dos mas para otro autovalor.
Como A es simètrica, es diagonalizable y entonces sus autoespacios serán subespacios ortogonales. Entonces yo digo que en el conjunto $\langle (1,1,0,0) \rangle^{\perp}$ hay otro autovector de autovalor distinto de 8. Elijo (0,0,1,1) y se ve que tal vector es un autovector de autovalor -4. Lsito! ya tengo los autovalores.

Ahora faltan los autovectores (dos, uno para cada autovalor)
Lo que digo ahora es lo siguiente. Del conjunto $\langle (0,0,1,1) \rangle^{\perp}$ Puedo extraer el otro autovector de autovalor 8. Entonces planteo lo siguiente: sea $v\in\langle (0,0,1,1) \rangle^{\perp} \Longrightarrow v=(a,b,x,-x)$ Asi que planteo El sistema de ecuaciones

A\begin{pmatrix}a\b \x \-x\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8a\8b \8x \-8x\end{pmatrix}

de lo que resulta $v=(b+2x,b,x,-x)$ elijo entonces el (1,1,0,0) que ya lo conocíampos y el (2,0,1,-1) que puede verificarse que es li con el anterior y de autovalor 8.
Solo falta un autovector de autovalor -4 !!
PAra ello digo que el autoespacio de -4 debe ser ortogonal al autoespacio de 8, este último ya lo conozco así que $E_{-4}=\langle (1,1,0,0);(2,0,1,-1)\rangle^{\perp}=\lbrace(x,-x,y,2x+y)\rbrace$ de aquí elijo el otro que me faltaba (1,-1,0,2) FIN

OJO!! estàn para revisar los ejercicios! digan si estàn bien o si los hicieron dsitintos
Se agradece