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[mas o menos resuelto] 2do parcial 9-12-02

0 respuestas 8948 visitas 2009-07-23

#1 ALE 2009-07-23 03:50

Pongo los ejercicios y luego las ideas:

Sean en \(\mathbb{R}^{4\times 4}\) las matrices:

A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

A'=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -1 & 5 \\0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix}

Hallar una matriz C inversible tal que \(CAC^{-1}=A'\)

Sea V un espacio vectorial sobre C con prod interno y sea \(\mathbb{B} =\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}\) una base ortonormal. Dado el suberpacio \(S=\langle v_{1}+2v_{2}+2iv_{4},-v_{1}+(-1+i)v_{2}+(1-3i)v_{4}\rangle\)
Decidir si \(v_{1}\) está más cerca de S qe de S ortogonal o no.
En \(\mathbb{R}^{4}\) sean los subespacios definidos por:

S_{1}=\langle (1,1,0,-1)\rangle

S_{2}=\lbrace (x,y,z,w) / x+y+z+2w=0 \wedge x-2y-z-w=0\rbrace

Hallar una transformación lineal autoadjunta \(f:\mathbb{R}^{4}\longrightarrow \mathbb{R}^{4}\) que satisfaga simultaneamente:

i) \(S_{1}\) es f-invariante
ii) \(f(S_{2})=S_{2}\)
iii) El polinomio característico de f es \(\chi_{f}=X^{2}(X-1)(X+2)\)

Ahí van las dudas:

Ejercicio 2

Resulta que A' tiene como poli característico: \(\chi_{A'}=(X+1)^{3}(X-2)\) Se ve que A es muy similar a una posible forma de jordan de A'. Si asi fuera esto uno podrìa hallar la forma de jordan de A' y ver cómo "arregla" la base de jordan para que la matriz quede como A. En tal caso C no es más que la matriz de cambio de base entre la canónica y esta base de jordan arreglada.

¿Cual es el teme entonces? Hay que buscar la forma de jordan de A'

Bueno, el polinomio minimal de A' es \(m_{A'}=(X+1)^{2}(X-2)\)

Con lo cual el bloque restringido al autovalor -1 debe ser de la siguiente pinta:

\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\1 & -1 & 0\0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Pra que me quede este bloque voy a usar la matriz N=A+I cuya froma de jordan es igual a la anterior pero con 0 en la diagonal. A tal matriz le busco el nucleo y resulta que ls vectores (1,0,0,0) y (0,2,1,1) están en el núcleo. Como la forma de jordan de N debería ser (restringida)

J_{N}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\1 & 0 & 0\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

entonces los vectores anteriores serìan el 2do y el 3ro de la base (digamos \(v_{2}\) y \(v_{3}\)). Acá está el problema, falta hallar \(v_{1}\) tal que \(Av_{1}=v_{2}\) y eso no es posible...

¿Ideas?

Ejercicio 4

Yo supuse que habrá que encontrar la distancia entre v1 y S y luego la de V1 hasta S ortogonal. El problema es que no sé como hallar el S ortogonal. ¿Es necesario hacer esto ùltimo?

Ejercicio 5

Yo pensé lo siguiente:

Primero noto que \(S_{1}\subseteq S_{2}\) y pienso a S2 así : \(S_{2}=\langle (1,1,0,-1) (1,2,-3,0) \rangle\)
Por el polin caracterísitco vemos que 0 es un autovalor doble con lo cual el Núcleo de f tiene dim 2. Por la condición ii deduzco que cada vector del generador de \(S_{2}\) es autovector de autovalores 1 y -2

Encuentro que \(S^{\perp}_{2}=\langle (3,0,1,3) (0,3,2,3) \rangle\) Este será entonces el nucleo de f. Pido entonces que:

(1,1,0,-1)\longrightarrow (1,1,0,-1)

(1,2,-3,0)\longrightarrow -2(1,2,-3,0)

(3,0,1,3)\longrightarrow (0,0,0,0)

(0,3,2,3)\longrightarrow (0,0,0,0)

Bueno pero asì probé ver si es autoadjunta, y resulta que la matriz en la base canonica no me queda hermitiana...

¿uqe puedo hacer?