[revisado] 2do parcial 2005 (recuperatorio) ej 1

Dice: Sea V un \(\mathbb{C}-espacio vectorial\) de dimensión finita con producto interno.

a) Sea \(W\in V\) un subespacio. Se define \(f_w:V\longrightarrow V/f_w(w+w')=w-w'\) Donde \(w\in W\) y \(w¡\in W^{\perp}\) Mostrar que, cualquiera sea W, \(f_w\) es unitaria y autoadjunta.

b)Mostrar que todo endomorfismo unitario y autoadjunto f de V es de esta forma, o sea que existe un subespacio W de V tal que \(f=f_w\)

La parte a la hice y la b... no tengo ni idea!!

Bueno, debemos ver que f es autoadjunta (de acá en más llamo \(f=f_w\) para abreviar), o sea :\(\langle v,w\rangle =\langle f(v).w\rangle\) para cada v y w en V, y también que es unitaria, o sea \(\langle v,w\rangle = \langle f(v),f(w)\rangle\)

Puesto que \(V=W\bigoplus W^{\perp}\) Tomo x e y en V. Ambos admiten la siguiente escritura
\(x=w+w' , y=z+z'\) Donde w,z son vectores de W y w' z' son vectores de \(W^{\perp}\)

Hago esto: \(\langle f(x),f(y) \rangle =\langle w-w',z-z'\rangle\) por cómo está definida f
\(=\langle w,z\rangle-\langle w,z'\rangle-\langle w',z\rangle+\langle w',z'\rangle\) Uso que el producto entre dos vectores de subespacios ortogonales da 0 y queda:

Ahora desarrollo \(\langle x,y\rangle=\langle w+w',z+z'\rangle=\langle w,z\rangle-\langle w',z'\rangle\) Con argumentos similares a los de antes. Luego \(\langle v,w\rangle = \langle f(v),f(w)\rangle\) con lo cual es unitaria.

Para ver que es autoadjunta se hace muy similarmente.

Editado 1 vez.

Al ser autoadjunto, su matriz es diagonalizable con autovalores reales. Al ser unitaria, sus únicos posibles autovalores son 1 y -1. Tomás como \(W\) el espacio de autovectores de autovalor 1, y el complemento ortogonal es el otro autoespacio.

Otra forma de hacer el a) es decir que si tomás una base ortonormal de \(W\), y una base ortonormal de \(W^\perp\), tenés una base ortonormal de \(V\). En esa base, \([f]_B\) es una matriz diagonal de 1's y -1's. De ahí se deducen fácilmente las cuestiones de unitaridad y autoadjunción.

Buenísimooo!!!

quiero saber un par de cosas.

1. ¿es cierto lo siguiente: "F es unitaria sí y solo si su matriz en cualquier base es semejante a una matriz diagonal con unos y menos unos en la diagonal"

2. Es claro que f es autoadjunta si f=f* por su definiciòn, y que f es autoadjunta si y solo si \(\vert f\vert_{\mathbb{B}}\) es una matriz hermitiana, donde \(\mathbb{B}\) es una baste ortonormal. Pero entonces... ¿què tiene de bueno una transformación autoadjunta? ¿Para què sirve?

http://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator

No lo encontré en español, perdón. Es como... largo.

gracias! (Y)

Igual se entiende.. y sè ingles 😎

Aunque no se sepa... las cosas son muy entendibles