[con dudas] Parcial 3-12-04 ejercicio 4

Dice

Sea \(\phi:\mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}\) la forma bilineal simétrica definida por \(\phi (X,Y)=y_{1}((1-a)x_{1}+ax_{2}+x_{3})+y_{2}(ax_{1}+(1-a)x_{2}-x_{3})+y_{3}(x_{1}-x_{2}+2x_{3})\)
a)Hallar todos los a reales para los cuales \(\phi\) es un producto interno
b) blabla

Mi duda radica en lo siguiente... para que sea producto interno la matriz debe ser simétrica definida positiva. Hay una condición para que esto pase que es que los menores principales sean positivos ¿debe pedirse esto también al determinante?

Yo hice esto...

La matriz en la base canónica es

que se ve que es simétrica para cualquier a
Entonces pido que:
i) 1r menor principal \(1-a>0\Longrightarrow a< 1\)
ii) 2do menor principal \(1-2a>0\Longrightarrow a<\frac{1}{2}\)
LA cosa es.. acá termina? o debo pedir también \(det(A)=-4a>0\Longrightarrow a<0\)?

La matriz

sería definida positiva, si no pedís también esa condición con el determinante. En definitiva, SI.
SI no te convence, pensá que si es definida positiva, por el teorema de Cholesky(o diagonalizando formas bilineales) llegás a que existe \(C\) inversible tal que \(A\eq=C{C}^{t}\). Tomando determinantes, recordando que \(C\in GL(n,\mathbb{R})\) resulta \(\det (A)\eq=\det (C{C}^{t})\eq=\det (C) \det({C}^{t})\eq={\det(C)}^{2}>0\)
Espero que sirva. Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Sublime!!

gracias! (Y)