a) Sea \(A\in \mathbb{R}^6\) y tal que \((A^{2}+2A)(A^{2}+A-2)=0\) y \(tr(A)>0\) Probar qeu A es diagonalizable.
b) Probar que el resultado de a no es cierto si se cambia \(\mathbb{R}^{6}\) por \(\mathbb{R}^{7}\)
Bueno, la cuestión es que el polinomio \(P=x(x-1)(x+2)^{2}\) tiene a A por raíz con lo cual \(m_{a}\vert P\) Entonces digo (Y ACÀ ESTÁ LA DUDA) que caben dos posibilidades para \(m_{A}\) que son las siguientes:
1)\(m_{A}=x(x-1)(x+2)^{2}\)
2)\(m_{A}=x(x-1)(x+2)\) (la cuestión acá es... ¿podría ser \(m_{A}=x(x-1)\) por ejemplo? o sea... le puedo "sacar" un factor?)
Sigo con esto... supongamos que es cierta la posibilidad 1 en consecuencia A tiene a -2 como autovalor por lo menos doble. Luego la traza de A (o sea, la suma de sus autovalores) será -2-2+algo. Pero ese algo debe ser mayor que 4 para que cmpla que \(tr(A)>0\) Pero como los otros autovalores de A son 1 y 0 (y no otros, ya que si no deberían aparecer como raíces del minimal) en el mejor de los casos tr(A)=0 y no mayor! Absurdo!! Con lo cual es cierta la posibilidad 2. Puesto entonces que el minimal se factoriza linealmente con todas raíces simples, A es diagonalizable.
¿me aclaran esta duda? Si esto no se cumple, la demo igual debe ser de este estilo... creo ... ¡gracias!
Hay varias formas de ver lo que decís. Efectivamente, las raíces del minimal son los autovalores de la matriz, y tienen que estar todos. La manera más brutal de justificarlo es por medio de la forma de Jordan, donde tenés la matriz separada en autoespacios según el autovalor. Ahi ves que en el minimal aparece cada autovalor(si \(\lambda\) es autovalor y \(v\) un autovector asociado \({m}_{v}|{m}_{A})\).
Espero que te aclare. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Supongamos que tengo una matriz A de 6x6 que tiene, \(\chi_{A}=(x-a)^{6}\) y \(m_{A}=(x-a)^{2}\)
Entonces, como ya sé que \((A-aI)^{2}=0\), te digo (de jodido que soy nomás) que \((A-a)^{2}(A-b)(A-c)=0\) lo cual es cierto (o sea... meto "factores intrusos") ¿Se entiende lo que me confunde?
De todos modos... seguí viendo todas las posibilidades "sacando" factores, y las únicas que verifican que la traza quede positiva completando con el autovalor 1 (el ùnico autovalor positivo) hasta completar el grado de la matriz, son todas factorizaciones lineales con raíces todas simples, con lo cual la matriz es diagonalizable.
Para redondear... mi duda es si, en el paso anterior y con el argumento que dí más arriba, puedo o no sacar factores para proponer un minimal. Es claro que no puedo agregarlos porque si no estaría agregando autovalores que deberían si o si ser raices del minimal.