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Tema

[RESUELTO] 2do parcial 2008

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#1 ALE

Sea

$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & 0 & -6 \1 & 2 & 0 & -1 \0 & 0 & 2 & 0 \1 & 5 & 0 & -4\end{pmatrix}$$

a) Hallar forma y base de jordan
b)Calcular \(A^{100}\) y su polinomio caracterñistico.

La parte a no hay problema, pongo los resultados porque creo que no trae dificulty;

$$\mathbb{B}_J=\{(1,0,0,0);(1,1,0,1);(0,0,1,0);(1,0,0,1)\}$$
Y la matriz de jordan:
$$A_J=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & -3\end{pmatrix}$$

El tema es la parte B. Resulta que yo probé hacerlo con el minimal, que es \(m_A=(x-2)^{2}(x+3)\) con lo cual \(A^3-A^2-8A+12I=0\) pero me quedan cuentas horripilantes! ¿Otra idea para esto?

PD: traté de calcular en el matlab potencias de A, y no veo ninguna regularidad en particular :S

Editado 2 veces.

#2 exequiel131719

Observá que \(A\eq=CJ{C}^{-1}\implies {A}^{100}C{J}^{100}{C}^{-1}\). Ahora, si sabés calcular la potencia de la forma de Jordan... fijate que está separada por bloques con lo que podés elevar cada bloque por separado. Ahora, solo te puede ocasionar dificultad el bloquecito

$$\begin{pmatrix}2 & 0\1 & 2\end{pmatrix}$$
. Pero:

$$\begin{pmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{pmatrix}\eq=2{I}_{2}+\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$$
. Como
$${\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}}^{2}\eq=0$$
, y conmuta con \(2{I}_{2}\), podés hacer el desarrollo del binomio de Newton para:
$${(2{I}_{2}+\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix})}^{100}\eq=\sum_{i\eq=0}^{100} {100\choose i}{(2{I}_{2})}^{n-i}{\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}}^{i}$$
Por lo anterior, solo sobreviven los dos primeros términos de esa suma, quedando:
$${(2{I}_{2}+\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix})}^{100}\eq={2}^{100}{I}_{2}+{2}^{99}100\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}\eq=\begin{pmatrix}{2}^{100} & 0 \\{2}^{99}100 & {2}^{100}\end{pmatrix}$$
Resumiendo todo, te queda:
$${A}^{100}\eq=C\begin{pmatrix} {2}^{100} & 0 & 0 & 0\\{2}^{99}100 & {2}^{100} & 0 & 0\\0 & 0 & {2}^{100} & 0\\0 & 0 & 0 &{3}^{100}\end{pmatrix}{C}^{-1}$$
Después solo te queda calcular el característico de la nueva matriz. Espero que sirva. Saludos.
Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 Yossarian

Un detalle, fijate que por la forma de Jordan, el minimal debería ser \((x-2)^2(x+3)\), así que tenés un error de cuentas en algún lado.

#4 ALE

Ya lo arreglè gracias!!

Igual lo copìe mal en el post, asi que la conclusión no cambió.