Hallar todas las transformaciones lineales ortogonales sobre \(\mathbb{R}^3\) tales que\(f(1,0,1)=(0,-\sqrt{2},0)\) y que \(f(2,1,2)=(\frac{\sqrt{2}}{2},-2\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\). Para cada una decidir si es rotación, simetría o composición de ambas. Hallar el plano de simetría o el eje de rotación.
Bueno la cosa es que, para ir "armando" una Base ortogonal lo que digo es lo que sigue, teniendo en cuenta que los vectores dados no son ortogonales, pero que sí son ortogonales (1,0,1) con (0,1,0)
\((0,1,0)=(2,1,2)-2(1,0,1)\Longrightarrow f(0,1,0)=(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2})\) haciendo cuentas y aplicando propiedades de transf lineal. Entonces digo que, como es una f ortogonal ( o sea que va a transformar sistemas ortogonales en sistemas ortogonales) completo a una base ortogonal de \(\mathbb{R}^3\): \(\mathbb{B}_{orto}=\{(1,0,1);(0,1,0);(1,0,-1)\}\) entonces digo que la imagen de este ùltimo vector debe ser ortogonal a las otras dos imàgenes, es decir , de la forma \((x,0,-x)\) Elijo entonces, para que conserve el módulo:
Bueno ahí entonces tengo dos opciones (una con det 1 o sea rotación, y otra con det -1 o sea composición de ambas) Faltaría terminarlo... pero lo que resta no es complicado.
La cuestión es... hay mas? Yo supuse que no pues cuando tomé los dos primeros vectores l.i. en realidad estoy "tomando" todo ese subespacio que generan. Luego, el otro subespacio complementario no dependerá de la elección de estos dos vectores. Tampoco al elegir el tercer vector pierdo posibilidades por la misma razón. Bueno... no se si estará bien justifi.
Opiniones?