la Dice:
Sea \(\phi:\mathbb{R}^{n\times n}\times \mathbb{R}^{n\times n}\rightarrow \mathbb{R}\) la forma bilineal simètrica definida por \(\phi (A,B)=n.tr(AB)-tr(A)tr(B)\)
a) Si \(S=\{A\in\mathbb{R}^{n\times n} tales que tr(A)=0 y A^{t}=A\}\)
\(T=\{A\in\mathbb{R}^{n\times n} tales que A^{t}=-A\}\) son subespacios de \(\mathbb{R}^{n\times n}\). Consideramos:
\(\phi_S:S\times S\rightarrow\mathbb{R}\) y
Probar que \(\phi_S\) es definida positiva y \(\phi_T\) es definida negativa.
b) Verificar que \(I_n\in Nu(\phi)\) y hallar rango y signatura de \(\phi\)
Hago hasta donde pude... el que puede me saca las dudas?
Para ver que \(\phi_T\) es definida negativa vamos a ver que \(\phi_T(A,A)\leq 0\) y es igual a cero si y solo si A es la matriz nula. entonces...
\(\phi_T(A,A)=n.tr(A^2)-tr(A).tr(A)=n.tr(A^2)-tr^{2}(A)\) pero \(A^{t}=-A\Rightarrow tr(A)=0\) en consecuencia obtenemos \(\phi_T(A,A)=n.tr(A^2)\) Puesto que \(n\leq 1\), basta probar la negatividad de \(tr(A^2)\)
Haciendo la cuentita para una matriz genérica \(A=(a_{ij})\) nos queda que \(tr(A^2)=\sum_{k=1}^{n}(\sum_{i=1}^{n}a_{ki}a_{ik}})\) Pero en este caso \(A^{t}=-A\Rightarrow (a_{ij})=(-a_{ji})\) Entonces \(tr(A^2)=\sum_{k=1}^{n}(\sum_{i=1}^{n}-a_{ki}^2)\leq 0\) como querìamos ver.
Además, es cero sí y solo si cada \(a_{ik}=0\) Lo que implica A=0
Para ver que \(\phi_S(A,A)\geq 0\), nos queda, usando la hipòtesis de que tr(A)=0 \(\phi_S(A,A)=n.tr(A^2)\) De nuevo hay que ver que \(tr(A^2)\leq 0\) y es igual a cero sì y solo sì A=0
Puesto que A es real y simètrica, es diagonalizable y tiene autovalores reales Luego \(tr(A^2)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i^2\geq 0\).
El tema es... cómo veo que es 0 si y solo si es 0?
¡yà me di cuenta! Esa suma es 0 sì y sòlo si todos los autovalores de A son 0, lo que implica que el nùcleo de A tiene dimensión n, lo que implica que A=0 🙂
Para la parte b... no sè como calcular la signatura, porque me qeda en función de la cantidad de -1s que aparezcan... ¿help?
