Dice...
Dadas
$$A_1=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 & 2 \2 & 2 & -1 & -2 \0 & -2 & 2 & 0 \-2 & 0 & 1 & 4\end{pmatrix}$$
y
$$A_1=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2 & 0 \0 & 2 & 0 & 0 \0 & 0 & 2 & 2 \0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}$$
Hallar \(C\in GL(4,\mathbb{R})\) tal que \(C^{-1}A_1C=A_2\)
La duda es que cuando verifiquè no me dio... quiero saber si está bien el procedimiento
Yo digo que Cada matriz de las dadas tiene su forma de jordan, entonces Tenemos que
$$A_1=LJ_1L^{-1}$$
\(A_2=PJ_2P^{-1}\) Obviamente simbolicè \(J_i\) a cada forma de jordan. Además, si \(\mathbb{B}_1\) y \(\mathbb{B}_2\) son las correspondientes bases de jordan de cada matriz, tengo que
\(L=C(\mathbb{B}_1\mathbb{E}),\) y que
$$P=C(\mathbb{B}_2\mathbb{E}),$$
Entonces si \(J_1=J_2\) (cosa que chequeo calculàndolas y en efecto es asì) puedo decir lo siguiente:
\(A_1=LJL^{-1}\Rightarrow L^{-1}A_1L=J\) Reemplazando esto en:
$$A_2=PJP^{-1}\Rightarrow A_2=P(L^{-1}JL)P^{-1}=(PL^{-1})J(PL^{-1})^{-1})$$
Entonces la C buscada es \(C=PL^{-1}\)
A propòsito... me da
$$C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 0 \0 & 0 & 2 & 0 \0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \0 & -2 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
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