Pide hallar todas las formas de jordan de una \(A\in\mathbb{C}^{8\times 8}\) tales que \(m_A\vert x^2(x-1)^3\) y que además \(dim(Nu(A))=dim(Nu(A^2))=3+dim(Nu(A-I)^2)\)
Yo dije esto, para empezar, como \(m_A\vert x^2(x-1)^3\) Entonces los ùnicos autovalores de A son 0 o 1 (es decir, no tiene otros que no sean estos, con la posibilidad de que sean todos cero o todos uno) Pero los bloques de jordan correspondientes al autovalor 0 deben ser de tamañno a lo más 2x2, idem para los de autovalor 1 de tamaño 3x3. Pero como \(dim(Nu(A))=dim(Nu(A^2))\Rightarrow J_0\) tiene tamaño 1x1 pues de lo contrario elevar al cuadrado \(J_0\) "agrandaría" la dim del nucleo. Luego cada bloque de jordan de autovalor 0, si hay, debe tener tamaño 1x1
Además \(dim(Nu(A-I)^2)\geq dim(Nu(A-I))\Rightarrow dim(Nu(A))\geq 3+dim(Nu(A-I))\) Usando la hipòtesis.
Pero además, como 0 y 1 son los ùnicos posibles autovalores tengo que \(dim(Nu(A))+dim(Nu(A-I))=8\)
De aquì se desprenden que dim(Nu(A))=6 y dim(Nu(A-I))=2
dim(Nu(A))=7 y dim(Nu(A-I))=1
dim(Nu(A))=8 y dim(Nu(A-I))=0
Bueno la cuestión es que ninguna de estas opciones Cumple que \(dim(Nu(A))=3+dim(Nu(A-I)^2)\)
Donde le pifiè? gracias!!