Dice
Sean P y Q hermitianas y \(T:\mathbb{C}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{C}^{n\times n}/T(A)=PAQ\)
a) Probar que T es autoadjunta para el producto interior \(\langle B,C\rangle=tr(BC*)\)
b) Si \(v\in\mathbb{C}^n\) es autovector de P y \(w\in\mathbb{C}^n\)es autovector de Q, entonces \(v^t\overline{w}\) es autovector de T
C) Hallar una base ortonormal de \(\mathbb{C}^{2\times 2}\) formada por autovectores de T si
$$P=\begin{pmatrix}1 & 2i \-2i & 4\end{pmatrix}$$
y
$$Q=\begin{pmatrix}-1 & 0 \0 & 3\end{pmatrix}$$
. Calcular la matriz de T en tal base.
Vamos con lo que hice ... a ver quien me ayuda?
PAra el a tengo dos opciones, o probar que la matriz en una base ortogonal es hermitiana (cosa que parece un poco complicada) o bien probarlo usando la definición, es decir que \(\langle A,T(B)\rangle=\langle T(A),B\rangle\) para A y B matrices cualesquiera de \(\mathbb{C}^{n\times n}\)
Traté de hacerlo asì, pero me confunden un poco las propiedades de la traza para matrices conjugadas. Yo hice asi:
$$\langle A,T(B)\rangle=\langle A,PBQ\rangle=tr(A(PBQ)^*)=tr(A(\overline{Q}^t\overline{B}^t\overline{P}^t))=tr(AQ\overline{B}^tP)$$
Usando aquí que P y Q son hermitianas y que la traza es invariante a la conmutación de las matrices. Luego
$$\langle T(A),B\rangle=\langle PAQ,B\rangle=tr(PAQB^*)=tr(AQ\overline{B}^tP)$$
¿està bien? Mi duda es si puedo conmutar las matrices... yo creo que si, pues ya probamos que tr(AB)=tr(BA) asi que yo supongo que se puede generalizar usando este hecho y la asociatividad
El b trambièn lo intenté y por ahora pudo conmigo :S Pues lo que intentè simplemente fue ver si puedo hacer algo con :
\(T(v^t\overline{w})=P(v^t\overline{w})Q\) Pero el tema es que acà no puedo asociar, no? como para aplicar la hipòtesis de que \(Pv=\lambda v\) y lo mismo con w.
Bueno, espero que a alguien se le ocurra algo....
Hablando con una comp me di cuenta que quizàs el problema es que en la hipòtesis de autovector, deberìa escribir el vector traspuesto. Es decir...
Si v es autovalor de P entonces \(Pv^t=\lambda v^t\) y si w es autovector de Q entonces \(Qw^t=\alpha w^t\) entonces calculamos:
\(T(v^t\overline{w})=P(v^t\overline{w})Q=(Pv^t)(\overline{w}Q)\) \((1)\)
Calculamos cada factor. Por hipotesis cambio \(Pv^t=\lambda v^t\)
Ahora usamos que \(Qw^t=\alpha w^t\Rightarrow(Qw^t)^t=(\alpha w^t)^t=wQ^t=w\alpha\) pues \(\alpha\) es un número (en realidad un elemento de K) luego su traspuesta es el mismo número Ahora conjugo, total si dos cosas son iguales, sus conjugados tambièn:
$$\overline{wQ^t}=\overline{w\alpha}\Rightarrow\overline{w}\overline{Q^t}=\overline{w}\overline{\alpha}$$
Pero Q es hermitiana luego \(\overline{Q}^t=Q\Rightarrow\overline{w}Q=\overline{w}\overline{\alpha}\)
Ahora si reemplazamos en \((1)\) y queda:
\(T(v^t\overline{w})=\lambda v^t\overline{w}\overline{\alpha}=\lambda\overline{\alpha}(v^t\overline{w})\) Justo lo que querìamos 🙂