Sea \(G\) un grupo finito de orden \(mp\) con \(p\) primo tal que \(m \le p\).
Probar que si \(H\) es un subgrupo de orden \(p\) entonces \(H\) es normal en \(G\)
De vuelta uso el ejercicio [Resuelto] Ej1 P2 (1 cuat 2010) y tomo \(K\)
Entonces \([G:K]\) divide a \(m!\) (\(H\) tiene índice \(m\))
Tenemos que \(K \le H\) pero como el orden de \(H\) es primo, sus únicos subgrupos son el mismo o el subgrupo trivial \(1\). Si fuera \(K=H\) ganamos porque \(K\) es normal en \(G\) por construcción. Sino, debe ser \(K={1}\) En este caso tenemos que \([G:K]=|G|=mp\) entonces \(mp\) divide a \(m!\)
Si \(p>m\) el factor \(p\) no aparece en \(m!\) lo que es absurdo. Luego debe ser \(p=m\) y nos quedaría que \(p^2\) divide a \(p!\) cuando \(p\) es primo. Esto también es absurdo ya que en el lado derecho \(p\) aparece con exponente \(1\). Luego vimos que debe ser \(K=H\), asegurando la normalidad de \(H\)
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Daniel