Sea \(G\) un grupo finito de orden \(m\) y sea \(p\) el menor primo que divide a \(m\)
Probar que si \(H\) es un subgrupo de índice \(p\) entonces \(H \unlhd G\)
Si \(m=p\) el resultado es trivial. Supongamos entonces que \(m>p\)
Tomemos \(K\) como en la parte c) de [Resuelto] Ej1 P2 (1 cuat 2010)
Entonces tenemos que \([G:K]=\frac{|G|}{|K|}\) divide a \(p!\). Cpmo \(p\) era el menor primo que dividía a \(m\) tenemos que las únicas posibilidades (recordemos que \(m>p\)) son que \(|K|=m\), en cuyo caso, como \(K \le H\) tenemos que \(H=G\) y es trivialmente invariante; o puede ser que
\([G:K]=p\) y como \([G:H]=p\) \(K\) y \(H\) tienen los mismos órdenes, y como\(K \le H\) se sigue que \(K=H\).
Como \(K\) es invariante queda demostrado.
Firma
Daniel