Sea \(G\) un grupo y sea \(H\) un subgrupo de índice \(n\). Sea \(\Psi\) el conjunto de las coclases a derecha de \(Ha\) (\(a \in G\))
a)Para cada \(x \in G\) definimos \(\varphi_x: \Psi \longrightarrow \Psi\) por \(Ha \longrightarrow Hax^{-1}\)
Probar que \(\varphi_x \in S_{\Psi}\) para todo \(x \in G\)
a)Primero veamos que la función esta bien definida. Tenemos que
\(Hax^{-1}=Hbx^{-1}\) \(\Leftrightarrow\) \(ax^{-1}(bx^{-1})^{-1} \in H\) \(\Leftrightarrow\) \(ab^{-1} \in H\) \(\Leftrightarrow\) \(Ha=Hb\) ; luego la función está bien definida (y de yapa vemos que es inyectiva).
Para ver que es suryectiva, para cualquier \(b \in G\) tenemos que \(Hb=\varphi_{x}(Hbx)\).
Luego \(\varphi_x \in S_{\Psi}\) para todo \(x \in G\)
b)Probar que la apliación \(\varphi : G \longrightarrow S_{\Psi}\) definida por \(\varphi(x)=\varphi_x\) es un morfismo de grupos
b) \(\varphi(xy)(Ha)=\varphi_{xy}(Ha)=Ha(xy)^{-1}=Hay^{-1}x^{-1}=\varphi_x(Hay^-1)=\varphi_x\circ\varphi_y(Ha)=\varphi(x) \varphi(y) (Ha)\)
\(\longrightarrow\) \(\varphi(xy)=\varphi(x) \varphi(y)\)
Luego es un morfismo de grupos.
c)Sea \(K=ker(\varphi)\) Probar que \(K\) es un subgrupo invariante de \(G\) contenido en \(H\) y \([G:K]\) divide a \(n!\)
c) Como es el núcleo del morfismo\(\varphi\) es trivial que es un subgrupo invariante de \(G\). Tomemos un elemento de \(K\), queremos ver que vive en \(H\). Si \(k \in K\) tenemos que
\(\varphi(k)=\varphi_k=Id_{S_{\Psi}}\) entonces \(\varphi_k(Ha)=Hak^{-1}=Ha\)
para todo \(a \in G\)
Entonces \(a(ak^{-1})^{-1} \in H\). Tomando \(a=k\) se obtiene que \(k \in H\), y esto nos dice que
\(K \le H\) como queríamos ver.
Ahora tenemos que por el primer teorema de isomorfismo \(G/K \cong im (\varphi) \le S_{\Psi}\) Entonces tomando ordenes, y recordando que el orden de un subgrupo divide al orden del grupo (Lagrange) y que claramente \(|S_{\Psi}|=n!\)
tenemos que \([G:K]=|G/K|=|im(\varphi)|\) Pero \(im(\varphi)\) es un subgrupo de \(S_{\Psi}\) y por ende el su orden divide a \(n!\) y esto es precisamente lo que queríamos ver.
Firma
Daniel