Probar que si \(H\) es un subgrupo de \(\mathbb{Z}\) entonces existe \(n \in \mathbb{N}\cup {{0}}\) tal que
Si \(H={0}\) entonces \(n=0\). Supongamos que entonces \(H\) tiene un elemento distinto de cero. Si \(-a \in H\) (\(a>0\)) entonces como \(H\) es un subgrupo el inverso también está, o sea \(a \in H\). Sea
{\(b=min {k} \in \mathbb{N} : k \in H\)}. Por lo dicho antes \(B\) es no vacío, y como es un subconjunto de \(\mathbb{N}\) posee un elemento mínimo. Afirmo que \(H=b\mathbb{Z}\)
Como \(b \in H\) es claro que \(-b \in H\) y como \(H\) es un grupo aditivo, todos los múltiplos de \(b\) están en \(H\). Entonces \(b\mathbb{Z}\subseteq H\). Tomemos un elemento de \(H\) que no sea múltiplo de \(b\). Por lo visto antes podemos suponerlo positivo, digamos que es \(a\)
\(a=bq+r\) con \(0 \le r <b\) (por algoritmo de división)
Entonces como tanto \(a\) y \(bq\) están en \(H\) luego \(r \in H\). Si \(r>0\) estamos contradiciendo la minmalidad de \(b\), luego \(r=0\), entonces \(a\) es múltiplo de \(b\), lo que es absurdo. Luego se tiene que \(H \subseteq b\mathbb{Z}\) y concluimos que
\(H=b\mathbb{Z}\)
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Daniel