Dice:
a) Probar que existen grupos no abelianos de orden \(3.7.11\)
Sabemos que \(\vert G\vert = 3.7.11\). Usando el tercer teorema de Sylow obtenemos que:
\(r_{3}\equiv 1(3)\) y \(r_{3}\vert 7.11 \Rightarrow r_{3}=1\) o \(7\)
\(r_{7}\equiv 1(7)\) y \(r_{7}\vert 3.11 \Rightarrow r_{7}=1\)
\(r_{11}\equiv 1(11)\) y \(r_{11}\vert 7.3 \Rightarrow r_{11}=1\).
Entonces, existen \(S_{7}\) de orden \(7\) y \(S_{11}\) de orden \(11\), invariantes ambos. Defino \(G' / \vert G'\vert =77\) .Por otro lado \(S_{7} \cap S_{11}=1\) y \(\vert G'\vert = \vert S_{7} \vert.\vert S_{11}\vert\). Entonces obtenemos que \(G'= S_{7} \times S_{11}\); es decir \(G' \simeq \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11}\).
Ahora bien:
Si \(r_{3}=1\), obtenemos facilmente que \(G \simeq \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{3}\) abeliano.
Si \(r_{3}=7\), sea \(S_{3}\) uno de esos 7 subgrupos de sylow de orden 3. Como \(G' \cap S_{3}=1\), \(\vert G \vert = \vert G' \vert . \vert S_{3} \vert\) y \(G' \triangleleft G\); obtenemos que \(G \simeq G' \rtimes S_{3}\). Luego \(\exists \phi : S_{3} \rightarrow Aut (G') \backslash G \simeq G' \cdot_{\phi} S_{3}\). Lo que es analogo a decir que \(G \simeq \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11} \cdot_{\psi}\mathbb{Z}_{3}\). Por ultimo basta encontrar el cardinal de Hom\((\mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11}, Aut (\mathbb{Z}_{3}))\). Como \(\mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11}\) es ciclico, y Aut\((\mathbb{Z}_{3})\simeq \mathbb{Z}_{2}\) hay dos morfismos. Uno es la identidad que me da lugar al producto directo de los tres, que es abeliano; y otro que seria \(G\simeq \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11} \cdot_{\psi}\mathbb{Z}_{3}\) no abeliano pues el morfismo no es la identidad.
b) Sea G un grupo no abeliano de orden \(3.7.11\). Probar que el conmutador es ciclico.
Sea G no abeliano tal que \(G\simeq \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11} \cdot_{\psi}\mathbb{Z}_{3}\).
Por un lado \(\mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11} \triangleleft G\) (pues tiene indice 3 que es el menor primo q divide al orden de G) y por otro \(\vert \frac{G}{\mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11}} \vert = 3\). Luego el cociente es ciclico. Entonces \(\left[ G:G \left] \subseteq \mathbb{Z}_{7} \times \mathbb{Z}_{11}\). En particular su orden es \(7\)o \(11\) o \(77\), que en todos los casos es ciclico
Espero opiniones...
Gracias