Sea \(G\) un grupo de orden \(n\) y sea \(p\) un primo tal que \(p\) divide a \(n\).
Probar que si \(H\) es un p-subgrupo de Sylow de \(G\) entonces \([G:N(H,G)]=r_p\) donde \(r_p\) denota a la cantidad de p-subgrupos de Sylow de \(G\).
Sean \(S_1,S_2, \cdots S_{r_p}\) los p-Sylows. Consideremos a G actuando por conjugación sobre los \(S_1,S_2, \cdots S_{r_p}\). Consideramos la ecuación de clases. Como todos los p-Sylows son conjugados, hay una sola órbita, digamos la órbita de \(H\). Entonces por la ecuación de clases:
\(r_p=|O_{H}|=[G:N(H,G)]\) que es precisamente lo que queríamos.
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Daniel