Si si, otra vez jodo. Esta vez es sobre algo que creo que no lo piden, pero que muchos hacen en un límite por definición, encontrar \(\delta\)?
El ej. dice \(\textrm{Probar por definici\'on que si $(x, y) \to (2, 3)$ entonces $y\ sen(xy - 6) \to 0$}.\)
Hice esto:
\(\left|y sen(xy - 6)\right| \le \left|y (xy - 6)\right| = \left|y ( x(y-3) + 3(x-2))\right|\).
Tomando \(\delta < 1\), se que \(|x-2| < \delta \Rightarrow x-2 < \delta \iff x < \delta +2\textrm{, como se que }\delta < 1,\ x < 3\).
Análogamente deduzco \(y < 4\). Como \((x, y) \to (2, 3)\), son los dos positivos. Entonces \(|x| = x, |y| = y\). Entonces tengo que \(|x| < 3, |y| < 4\). Ahora acoto la expresión por
\(\left|y ( x(y-3) + 3(x-2))\right| \le 4 ( 3\delta + 3\delta) = 24\delta = \varepsilon\).
Entonces \(\delta = min\{\frac{\varepsilon}{24}; 1\}\).
Mas básico; está bien eso de "como x e y son así, |x| y |y| son asá"? Mentí cuando "tomé delta < 1" o es legal?
La verdad, nunca entendí bien por qué la expresión de \(\delta\) del final. Solo se que igualo lo que me quedó acotado a epsilon, despejo delta, y hago "min(eso, el delta auxiliar)". Pero me siento medio bobo no sabiendo que corno significa :s
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
[Verificado]. Problema 8-9 P2, acá se discutió un poco el mismo problema, creo. Igual, trato de responder tus preguntas:
1)Fijate que si tomás delta chico, al menos \(\delta <1\), tenés \(|x-2|<1\iff 0<1\eq= 2-1<x<2+1\eq=3\), y con \(y\) análogamente deducís \(0<2<y<4\). Así que vale lo que decís. La idea intuitiva es que si vos estás acercándote al \((2,3)\) necesariamente cuando tomes un \(\delta\) muy chico, vas a tener a \(x\) muy cerca de \(2\), y a \(y\) muy cerca de \(3\). De ahi la positividad. La justificación de esto es eso que dije antes.
Con respecto a si es legal tomar \(\delta <1\), la respuesta es si. La idea es tomar un delta suficientemente chico para el que valga que las imágenes estén muy pegadas. Si existe tal \(\delta\), puede ocurrir que el óptimo sea ya menor que \(1\) o no. Si no es menor que 1, la definición dice "existe \(\delta\) tal que \(||(x-2,y-3)||<\delta\) entonces..." si existe un tal \(\delta \geq 1\), tomás un nuevo \(\delta '<1\leq \delta\). En definitiva, es legal, porque la idea es achicar cada vez más \(\delta\)(hacer \(\delta \rightarrow 0\))
2)El tema es así: vos pedís \(\delta <1\). Al final, llegás a la condición \(24\delta \leq \epsilon\). Si el \(\epsilon\) que pedís es muy grande, \(\delta \eq=\frac{\epsilon}{24}\) puede llegar a ser mayor o igual que 1, perdiendo sentido lo que hiciste(por ejemplo \(\epsilon \geq 24\)). Por eso pedís \(\delta \leq \min \{\frac{\epsilon}{24},1\}\); si \(\frac{\epsilon}{24}<1\) no pasa nada, pero te cubre el caso \(\frac{\epsilon}{24}\geq 1\). En resumen, pidiendo esto asegurás:
a-\(24\delta \leq \epsilon\)
b-que el \(\delta\) elegido sea menor a 1, para que tenga sentido la cota.
De cualquier forma, la idea es tomar \(\epsilon\) muy chico, no \(\epsilon \eq=24\)... es importante escribir todo, como pusiste, pero más importante es entender que si conseguiste acotar por algo que solo depende de \(\delta\), como \(24\delta\), y cuando tendés \(\delta \rightarrow 0\) la cota tiende a 0, entonces ya tenés asegurada la existencia del límite(no lo dije, pero el \(\delta\) depende de \(\epsilon\))
En fin, no se si aclaré. Espero que ayude. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Creeeeo que entiendo. Entiendo que yo derivo cuanto es \(\delta\) en función de \(\varepsilon\), y que porai me paso de 1 (que asumí que era mas grande que mi delta) porque no controlo el epsilon, entonces si fuera mas grande que 24 asumí algo falso. Hasta ahí entendería que se escribiera "\(\delta = \frac{\varepsilon}{24}\text{ si }\varepsilon < 24\)". Voy a tener que ponerme a pensar un poco más la otra parte, el "si no". Pero seguro debe ser muy simple y me estoy complicando la historia.
es que si escribís \(\delta \eq=\frac{\epsilon}{24}\) si \(\epsilon <24\), sino, tomo \(\delta <1\) es escribir lo de \(\min \{\frac{\epsilon}{24},1\}\). Creo que esto va a ser más claro: pedir \(\delta <\min \{\frac{\epsilon}{24},1\}\) es equivalente a la proposición \(\delta <\frac{\epsilon}{24}\land \delta <1\). Esto te asegura la acotación \(24\delta <\epsilon\), y \(\delta <1\), necesario porque en la demo usás \(\delta < 1\).
Espero que esto pueda ayudar un poco más. No se si estoy siendo claro, confundiendo más.
Cuidado con decir \(\delta = \min \{ 1, \frac{\epsilon}{24} \}\) y en la demostracion asumir \(\delta < 1\), porque delta puede ser igual a 1 (por ejemplo, si \(\epsilon = 24\)).
Me parece que tu demostracion anda si asumis \(\delta \leq 1\). De todas formas, podes decir \(\delta = \min \{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{24} \}\) (o cualquier numero positivo menor a 1) y ya.
La sugerencia de fedor de dividir por la mitad suele ser útil para estar más tranquilo con la cota. De cualquier manera, cambiando el \(\leq\) anda todo bien.
Probá hacerlo por ese camino y fijate donde te trabás. Eso te va a dar una idea (si te salió por ese camino hiciste algo mal; si querés compartilo y lo corregimos).
Es cierto, no funca xD queda... \(\delta < \epsilon - 3\)
Me quedé pensando lo de empezar tomando \(\delta \leq 1\) y me surgió esta pregunta. Si empiezo diciendo \(\\ \delta \leq 1\), sería equivalente a pedir que cada coordenada cumpla
\(|p_i - x_i| \leq \Vert P - X \Vert < \delta \leq 1\) ?
O sea que si te doy un épsilon que haga que delta sea en efecto 1, eso significa que si la distancia de \(X\) a \(P\) es menor estricto que 1 y \(X\) es un punto del dominio, me garantizan que la distancia de \(f\) evaluada en un entorno de \(P\), al límite (en este caso 0), va a ser menor que épsilon. Donde el entorno de \(P\) sería \(B_{\delta}(P) = \lbrace X \in Dom(f) : \Vert P - X \Vert < \delta \rbrace\).