Hola, estoy intentando salir un poco del horno que es límites (increible que haya aprobado el CBC en este estado...), y tengo una pregunta sobre la resolución de este ejercicio.
Lo que hice fué plantearlo por def, diciendo que...
\(\textrm{Sea $\epsilon > 0,\ \exists\ \delta > 0 : x - 3 < \delta \Rightarrow \left|\frac{[x^2] - [x]^2}{x^2 - 9}\right|$}\)
Se que \(x \ge 3. {}^{(\spadesuit)}\)
Tomo \(x < \sqrt{10}\), entonces \(x^2 < 10\). Si \(x \ge 3\), entonces \(x^2 \ge 9\). Pero si \(9 \le x^2 < 10\), entonces \([x^2] = 9. {}^{(\clubsuit)}\)
Si tomé \(x < \sqrt{10}\), en particular \(x < 4\). Si \(3 \le x < 4\), entonces \([x] = 3\).
Entonces, tomando \(x < \sqrt{10}\):
\(\left|\frac{[x^2] - [x]^2}{x^2 - 9}\right| = \left|\frac{9 - 9}{x^2 - 9}\right| = 0 < \epsilon\).
Ahora, mis preguntas son:
\(\spadesuit\)) *Quien me dijo que *\(x \ge 3\)? Osea, yo lo sé porque me estoy acercando al 3 por derecha, entonces x viene siendo mayor a 3 por muy poquito, pero...como deduzco esto de \(x - 3 < \delta\)?
\(\clubsuit\)) Como puedo argumentar esto? Yo lo sé por intuición, pero hay alguna definición de [x] a la que pueda apelar para probar esto?
EDIT: Ah, y una cosa extra. Como me estoy acercando por derecha, digo que x - 3 < delta (sin módulo). Que podría decir si me estoy acercando por izquierda?
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Mis recuerdos de limites estan un tanto oxidados, pero me da la impresion de que estas planteandolo mal.
El limite por derecha deberia ser:
$$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=c \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \text{ tal que si } 0<x-x_0<\delta \text{ entonces } |f(x)-c|<\epsilon$$
Ah, tiene sentido. Entonces es \(0 < x - 3 < \delta\), no solo \(x - 3 < \delta\).
Y estoy viendo que directamente corté la definición del límite, ni escribí que \(|f(x)| < \epsilon\), solo "\(|f(x)|\)". xD
La idea esta bien, pero no esta muy bien escrita la demostracion porque estas elegiendo directamente que x tomar. Deberias elegir un delta positivo, y de ahi determinar el intervalo al que pertenece x.
Con respecto a lo otro, una definicion de parte entera es justamente: \([x] = n \Leftrightarrow n \leq x < n + 1\), con \(n \in \mathbb{Z}\). Asi que tu justificacion es suficiente.
Aca te dejo mi demostracion.
Sea \(\delta = \sqrt{10} - 3\), luego si \(3 < x < 3 + \delta = 3 + \sqrt{10} - 3 = \sqrt{10}\) entonces \(9 < x^2 < 10\). Por lo tanto \([x] = 3\) y \([x^2] = 9\). Por lo tanto \(\frac{[x^2] - [x]^2}{x^2 - 9} = 0\)
En definitiva, si tomas \(\delta = \sqrt{10} - 3\), la funcion vale cero en todo el intervalo \((3, 3 + \delta)\), por ende va a ser menor que todo \(\epsilon\) positivo (en esta demostracion el delta no depende de epsilon, es siempre el mismo).\(\Box\)