#1 Erizo 2009-07-08 17:58 Tengo un problema enorme para acotar... No se por qué, pongo dos problemas que no me salen y parecen como re obvios a ver si algún alma bondadosa me ayuda.
$$Demostrar\, por\, definicion \,que\, \lim_{(x,y) \rightarrow (-1,8)} xy = 8$$
y
$$Demostrar\, por\, definicion\, que \lim_{(x,y) \rightarrow (2,3)} y\sin(xy-6)=0$$
(no se cómo poner los acentos en tex, no me aparece la letra acentuada 🙁 )
Parecen fáciles, pero lamentablemente tengo un problema con esto de acotar límites...
Un saludo y gracias
Firma
#2 Maca.... 2009-07-08 18:53 Hay toda una discusion en honor a el primer ejercicio en este subforo,traten de revisarlo antes de subir ejercicios asi se ahorran tiempo de escritura 😄
Practica 2, Ej. 8)a)ii)
#3 Agustina 2009-07-08 18:57 $$\lim_{(x,y)\rightarrow(-1,8)} xy-8=0$$
Entonces:
Uso que:
$$(x+1)\leq\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|$$
$$(y-8)\leq\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|$$
$$\leq 8\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|-\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|+\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|^2$$
$$=7 \left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|+\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|^2$$
Ahora elijo un
\(\delta1\leq1\) y entonces puedo decir que:
$$\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|^2\leq\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|$$
Y esto vale porque \(\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|\leq1\)
Volviendo al límite, con esa cota, ya está.
$$\leq7\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|+\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|$$
$$=8\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|\leq\epsilon$$
$$\left|\left|(x,y)-(-1,8) \right| \right|\leq\delta=\epsilon/8$$
Y finalmente elijo \(\delta=min(1,\epsilon/8)\)
Y el segundo supongo que usa las mismas ideas. La primer igualdad vale porque
podés hacer las distributivas
podés imaginarte que le calculás el área a un rectángulo de lados xy donde\(x=(x+1)-1\) y \(y=(y-8)+8\)
Editado 1 vez.
#4 Maca.... 2009-07-08 18:59 lo q falta es el modulo del ppio...
#5 Agustina 2009-07-08 19:01 Si, perdón, al acotar deben ponerse los módulos. Ahora lo arreglo, gracias.
#6 Maca.... 2009-07-08 19:05 y un mas en lugar de un menos,pero son detallitos,jaja
\(|xy+8|=|(x+1)(y-8)+8(x+1)-(y-8)|\)
$$\leq |(x+1)(y-8)|+|(y-8)|+8|(x+1)|$$
$$\leq \parallel (x,y)-(-1,8)\parallel^{2}+9\parallel (x,y)-(-1,8)\parallel$$
Tomando \(\delta\leq 1\ \Longrightarrow \parallel (x,y)-(-1,8)\parallel \leq1\)
Por lo tanto... \(\parallel (x,y)-(-1,8)\parallel^{2} \leq \parallel (x,y)-(-1,8)\parallel\)
y lugo te queda \(10 \parallel (x,y)-(-1,8)\parallel <\epsilon\) ahora lo q falta es tomar.
\(..\delta=min\){\({\epsilon/10; 1}\)}
y listo!
#7 Erizo 2009-07-08 19:34 Muchas gracias a las dos, respecto al 9 llegué a esto y me quedé estancado
$$|y\sin(xy-6)| = |y\sin(xy-6)\frac{xy-6}{xy-6}|$$
entonces \(|\frac{\sin(xy-6)}{xy-6}|\) tiende a 1
$$|y(xy-6)| = |y((x-2)(y-3) -6 + 3x + 2y)| \leq |y|\cdot {||(x-2,y-3)||}^{2} +|y|\cdot|(3x +2y -6)|$$
Y ahora...? que mal que me veo con estas cosas
Editado 3 veces.
#8 Erizo 2009-07-08 20:26 Se me ocurrió esto, igual me parece que mandé cualquiera... La norma antes era al cuadrado, ahora lo cambo
$$|y|\,||x-2,y-3||^2 \;+|y|\,|(3x +2y -6)|$$
$$|y|\,||x-2,y-3||^2 \;+|y|\,|(3(x-2) +2y|$$
$$\leq |y|\,||x-2,y-3||^2 \;+|y|\,|(3||x-2,y-3|| +2y|$$
...
$$\leq\,|y|\,||x-2,y-3||^2 + |3y|\,||x-2,y-3|| + 2y^2$$
Si \(\delta < 1\)
$$||x-2,y-3||<\delta \Rightarrow ||x-2,y-3||^2 <||x-2,y-3||<\delta$$
Además, si \(0<\delta<1\), \(2y^2 \leq |y-3| \leq ||x-2,y-3||\)
Entonces
$$\leq\,|y|\,||x-2,y-3|| \;+\; 3||x-2,y-3|| \;+\; ||x-2,y-3||=$$
$$4|y|\;||x-2,y-3||$$
Además, si \(\delta < 1\) \(||x-2,y-3||<1\)\(\Rightarrow\)
$$|y-3| \leq||x-2,y-3||<1$$
$$|y-3| < 1\, \Rightarrow\, y\leq4$$
Entonces \(4*4||x-2,y-3|| < \epsilon\)
Tomo \(\delta=min\{1,\frac{\epsilon}{16}\}\)
#9 exequiel131719 2009-07-08 21:27 Fijate que donde restás \(6\) deberías restar \(12\), sino, lo que tratás de acotar no tiende a \(0\). Fijate que la cota:
$$|3(x-2)+2y|\leq |3||(x-2,y-3)||+2y|$$
no vale siempre(o sea, algo tendrías que decir). Ahora, algo que usás para ver que tiende a \(0\),
$$2{y}^{2}\leq |y-3|$$
no vale, porque lo de la derecha está tendiendo a \(0\), mientras que lo de la izquierda tiende a \(2\cdot {3}^{2}\eq=2\cdot 9\eq=18\).
Con respecto al post anterior, fijate que no estás probando al ejercicio por definición; estás usando la propiedad que \(\frac{\sin(x)}{x}\) tiende a \(0\) cuando \(x\rightarrow 0\), y que el producto de dos límites que existen existe.
Fijate, que la idea del ejercicio es acotar:
$$|y\sin(xy-6)|\leq |y|\cdot |xy-6|$$
(en definitiva, lo que tratabas de hacer, pero la idea era justificarlo de esa forma)
Ahora, como \(|y-3|\leq ||(x-2,y-3)||\), si pedís \(||(x-2,y-3)||<1\), podés acotar:
\(|y-3|<1\iff 2<y<4\). Entonces \(|y|<4\)
$$|y|\cdot |xy-6|<4|xy-6|$$
Ahora solo falta acotar
$$|xy-6|\eq=|xy-2y+2y-6|\eq=|(x-2)y+2y-6|\eq=|(x-2)y+2(y-3)|\leq |x-2|\cdot |y|+2|y-3|\leq 4||(x-2,y-3)||+2||(x-2,y-3)||\eq=6||(x-2,y-3)||$$
O sea,
$$|y\sin(xy-6)|\leq |y|\cdot |xy-6|<4|xy-6|<4\cdot 6||(x-2,y-3)||\eq=24||(x-2,y-3)||$$
y ahora ya podés acotarlo adecuadamente, afinando la elección de \(\delta\).
Espero que se entienda la aclaración. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
#10 Erizo 2009-07-08 21:37 Ah buenísimo, entendí. Ahora tengo más idea de como acotar. Muchas gracias 🙂
#11 KillSchrodingerCat 2009-10-13 20:31
Erizo escribió:
Se me ocurrió esto, igual me parece que mandé cualquiera... La norma antes era al cuadrado, ahora lo cambo
$$|y|\,||x-2,y-3||^2 \;+|y|\,|(3x +2y -6)|$$
$$|y|\,||x-2,y-3||^2 \;+|y|\,|(3(x-2) +2y|$$
$$\leq |y|\,||x-2,y-3||^2 \;+|y|\,|(3||x-2,y-3|| +2y|$$
...
$$\leq\,|y|\,||x-2,y-3||^2 + |3y|\,||x-2,y-3|| + 2y^2$$
Si \(\delta < 1\)
$$||x-2,y-3||<\delta \Rightarrow ||x-2,y-3||^2 <||x-2,y-3||<\delta$$
Además, si \(0<\delta<1\), \(2y^2 \leq |y-3| \leq ||x-2,y-3||\)
Entonces
$$\leq\,|y|\,||x-2,y-3|| \;+\; 3||x-2,y-3|| \;+\; ||x-2,y-3||=$$
$$4|y|\;||x-2,y-3||$$
Además, si \(\delta < 1\) \(||x-2,y-3||<1\)\(\Rightarrow\)
$$|y-3| \leq||x-2,y-3||<1$$
$$|y-3| < 1\, \Rightarrow\, y\leq4$$
Entonces \(4*4||x-2,y-3|| < \epsilon\)
Tomo \(\delta=min\{1,\frac{\epsilon}{16}\}\)
Me parece que te hiciste lindo embole !
Te conviene acotar el \(sen\) sabiendo que vale que \(sen(x) \leq |x| \forall x\)
Entonces:
\(||ysen(xy-6)|| \leq ||y(xy-6)||\) Luego \(||y(xy-6)||=||y(xy+3x-3x-6)||\)\(=||y(x[y-3]+3[x-2])|| \leq |y|[|x||y-3|+3|x-2|]\)
\(\leq 24||(x,y)-(2,3)||<\epsilon\) Siempre que \(||(x,y)-(2,3)||<\delta<\frac{\epsilon}{24}\) (con \(|x| \leq 3\) y \(|y| \leq 4\) )
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
